1. Funcția de utilitate. Constrângerea bugetară. Declarație Problema de alegere a consumatorului .................................. ........................ .. .... 4
1.1 Soluția problemei alegerii consumatorului și proprietățile sale ............... .7
1.1.1. exemplu soluții în problema cererii consumatorilor ................ 9
1.2. Un model general de alegere a consumatorului ................................. ..10
2. Funcția preferințelor consumatorilor piatra ......................... 12
Referințe ................................................. 15
matematică modernă se caracterizează prin penetrare intensă în alte științe, în multe privințe, acest proces se datorează împărțirea matematicii într-un număr de regiuni distincte. Matematica a devenit pentru multe ramuri ale cunoașterii, nu doar un instrument de calcul cantitativ, dar, de asemenea, o metodă de cercetare exactă și mijloace de formulare extrem de precisă a conceptelor și problemelor. Fără matematică moderne, cu logica sa avansată și dispozitiv de calcul nu ar fi posibil să se progreseze în diferite domenii ale activității umane.
Economia ca știință din motive obiective pentru funcționarea și dezvoltarea societății utilizează o varietate de caracteristici cantitative, și, prin urmare, a absorbit un număr mare de metode matematice.
Relevanța acestei teme este faptul că în economia de astăzi utilizează tehnici de optimizare, care stau la baza programării matematice, planificarea rețelei, teoria Cozile și alte științe aplicate.
Un studiu al aplicațiilor economice ale disciplinelor matematice, formează baza matematicii economice actuale, vă permite să cumpere unele competențe pentru a rezolva problemele economice și să se extindă cunoștințele în acest domeniu.
Scopul acestei lucrări este de a examina unele dintre tehnicile de optimizare utilizate în rezolvarea problemelor economice.
Când scrieți un termen de hârtie următoarele sarcini:
Examinarea problemei alegerii consumatorului și pregătirea modelelor matematice;
Studiul are în preferințele consumatorilor de piatră;
Practice de rezolvare de probleme.
1. Funcția de utilitate. Constrângerea bugetară. Formularea problemei de alegere a consumatorului.
Se va presupune că consumatorul are venit, Q, care este complet cheltuit pentru achiziționarea de bunuri (produse) Având în vedere structura prețurilor, veniturile și preferințele proprii, utilizatorul primește o anumită cantitate de bogăție, și modelul matematic al comportamentului este numit un model de alegere a consumatorului.
În unele aplicații distinge un singur produs, iar al doilea cred că toți ceilalți. Prin urmare, considerăm mai întâi un model cu două tipuri de produse. Set de consum - acest vector (x1, x2), unde x1 este coordonata primul număr de unități, iar x2 coordonatei este egal cu numărul de unități de al doilea produs.
Alegerea consumatorului se caracterizează printr-o relație de preferință, a cărei esență este după cum urmează. Se crede că consumatorul cu privire la fiecare două seturi se poate spune că oricare dintre ele este mai de dorit decât celălalt, sau consumatorul nu vede diferența dintre ele. relație Preferința este tranzitivă, adică, dacă mulțimea A = (a1, a2), este preferabil să se stabilească B = (b1, b2). și un set B = (b1, b2), este preferabil să se stabilească C = (c1, c2), apoi setați A = (a1, a2), este preferabil să se stabilească C = (c1, c2).
Funcția de utilitate are următoarele proprietăți:
Creșterea consumului de produs la un consum constant de un alt produs duce la o creștere de evaluare a consumatorilor, și anume dacă x> x. apoi u (x, x2)> u (x, x2);
Primele derivatele parțiale ale u și u predelnymipoleznostyami numit prima și a doua produse respectiv.
Utilitatea marginală a fiecărui produs crește dacă numărul tot mai mare de alte produse. În acest caz, produsul, al cărui cuantum este fix, este relativ rar. În cazul în care mărfurile pot fi substituite reciproc în consum, proprietatea nu este îndeplinită. u (x1, x2) = U12> 0, u (x1, x2) = U21.Centrarea> 0.
Linia care unește fasciculele de consum (x1, x2). au același nivel de satisfacere a nevoilor se numește o linie indiferență. linie indiferență nu este nimic altceva, ca funcția de utilitate la nivel de linie. O mulțime de linii de indiferență numit carte liniybezrazlichiya. linii de indiferență corespunzătoare diferitelor niveluri pentru a satisface nevoile care nu se suprapun și nu atingeți. Cele de mai sus și la dreapta este linia de indiferenta, cu atat mai mare gradul de satisfacere a nevoilor le îndeplinește. Condiții de 1-3 înseamnă că linia de indiferență scade și este convex în jos.
Sarcina de alegere a consumatorului este de a selecta un astfel de set de consumator (x, x) care maximizează funcția de utilitate pentru o anumită constrângere bugetară.
Constrângerea bugetară înseamnă că costurile monetare ale produselor care nu poate depăși venitul monetar, și anume,
Q - venitul de consum pe care este dispus să-și petreacă să cumpere prima și a doua produse.
problema de alegere a consumatorului are forma:
pluralitate admisibila (adică, mai multe seturi de produse disponibile pentru consumator) este un triunghi delimitat de axele de coordonate și constrângerilor bugetare. Pe acest set este necesar pentru a găsi un punct aparținând curba indiferență cu nivelul maxim de utilitate. Caută acest punct poate fi interpretat grafic ca o tranziție treptată pe linie toate nivelul mai ridicat de utilitate, atâta timp cât aceste linii au încă puncte în comun cu setul fezabil (Figura 1).
Soluția de rezolvare a problemei de alegere a consumatorului și proprietățile sale.
Un set de (x, x). care rezolvă problema de alegere a consumatorului, aceasta se numește optimă pentru consumator.
Luați în considerare unele dintre proprietățile problemei de alegere a consumatorului. În primul rând, soluția (x, x) este reținut pentru orice monotonă (adică, păstrând ordinea semnificației) transformarea funcției de utilitate u (x1, x2). Deoarece valoarea u (x, x), este maximizată peste întregul set admisibil, rămân neschimbate după funcțiile de conversie de utilitate monotonă (set fezabil determinat de constrângerile bugetare rămâne neschimbat). Astfel transformare monotonă poate fi o multiplicare a funcției de utilitate pentru un număr pozitiv în construirea puterii sale pozitive, logaritm.
În al doilea rând, soluția la problema de alegere a consumatorului nu se modifică în cazul în care toate prețurile și creșterea veniturilor (scădere), în același număr de ori λ. (Λ> 0)
Acest lucru este echivalent cu o multiplicare cu un număr λ pozitiv de ambele părți ale p1x1 constrângerii bugetare + p2x2≤Q. care oferă o inegalitate echivalentă cu originalul. Deoarece nici prețul și nici veniturile Q nu este inclusă în funcția de utilitate, sarcina rămâne aceeași ca și originalul.
În cazul în care, la un anumit set de consum (x1, x2) p1x1 constrângere bugetară + p2x2≤Q va rula ca o inegalitate strictă, atunci putem crește aportul de oricare dintre produsele și de a crește, astfel, funcția de utilitate. În consecință, un set de (x, x). maximizarea funcției de utilitate, trebuie să plătească pentru ecuația constrângere bugetară, și anume
Grafic, acest lucru înseamnă că soluția (x, x) de alegere a consumatorului ar trebui să se bazeze pe linia bugetară care trece prin punctul de intersecție cu axele de coordonate, în cazul în care toate veniturile sunt cheltuite pe un singur produs: (0) și (0).
Deci, problema de alegere a consumatorului poate fi înlocuită cu problema unei extremelor condiționate (pentru soluția (x, x) a acestor două probleme este aceeași):
Pentru a rezolva această problemă metoda Lagrange este aplicabilă. Scriem Lagrangianului
Am găsit derivații săi parțiale în raport cu x1, x2, și λ. care echivalează cu zero:
Sunt excluse din sistemul de X necunoscut, obținem un sistem de două ecuații cu două necunoscute x1 și x2.
Soluție (x, x) a sistemului este un punct critic al funcției Lagrange. Substituind soluția (x, x), în partea stângă a ecuației:
constatăm că punctul (x, x), raportul dintre utilitățile marginale u (x, x) și u (x, x) produs egal cu raportul și p2 p1 prețurile de piață pentru aceste produse:
Datorită faptului că raportul este egală cu rata marginală de înlocuire a primului produs în al doilea punct de echilibru pe piața locală (x, x). (5.1) implică faptul că rata marginală este raportul dintre prețul de piață pentru produsele. Rezultatul de mai sus joacă un rol important în teoria economică.
Geometric, soluția (x, x) poate fi interpretat ca punct indiferență de tangență funcție de utilitate linie u (x1, x2) cu p1x1 constrângere bugetară + p2x2 = Q. Acest lucru este determinat de raportul = - prezintă panta nivelului liniei funcției de utilitate, iar raportul - este panta constrângerea bugetară. Deoarece punctul de alegere a consumatorului, acestea sunt egale, atunci în acest moment cele două linii de date ating.
1.1.1. Un exemplu de rezolvare a problemei de alegere a consumatorului.
Noi rezolva problema de alegere a consumatorului.
Setul optim de consumatori este de 6 unități. h1i Produs 8 unități. x2 produs. Se determină prețul de bunuri consumate, în cazul în care se știe că venitul de consum este de 240 de ruble. Funcția de utilitate de consum este de forma: u (x1, x2) = x.
Decizie. Urmând principiul soluțiilor, obținem sistemul de ecuații:
Un model general de alegere a consumatorului.
modelul de alegere a consumatorului a fost considerat cu două produse și soluția sa folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Acum ia în considerare proprietățile problemei de alegere a consumatorului cu orice număr de produse și funcția obiectiv a formei generale.
Presupunem că ne-negativitatea a variabilelor furnizate de proprietățile funcției obiectiv și constrângerea bugetară. În acest caz, putem scrie funcția Lagrange și investiga extremelor necondiționat:
O condiție necesară pentru extremum - derivate parțiale egale cu zero: L = u + λpi = 0 pentru toți i [1, n] și L = px-Q = 0. Acest lucru implică faptul că pentru toți i la x echilibrul pieței, egalitatea:
care se obține după transferul doilea termen, condițiile necesare pentru partea dreaptă și împărțind ecuația i-lea de j-lea. Deci, la raportul optim dintre utilitățile marginale ale oricăror două produse egal cu raportul dintre prețurile lor de piață. Ecuația (5.3) poate fi rescrisă într-o altă formă:
Aceasta înseamnă că utilitatea pe costuri unitare de numerar la punctul de optim aceeași pentru toate tipurile de mărfuri. Dacă acest lucru nu a fost cazul, atunci cel puțin o monedă ar putea fi redistribuite, astfel încât a crescut bunăstarea (valoarea funcției de utilitate) consumator. În cazul în care pentru unii i, j există inegalitate:
apoi o anumită sumă de bani ar putea fi realocate din produsul i-lea la j-lea, creșterea nivelului de bunăstare.
2. caracteristică de piatră în preferințele consumatorilor.
Acum obținem funcția cererii pentru o anumită funcție în preferințele consumatorilor, numită caracteristică R.Stouna. Această funcție are forma:
AI - numărul minim de i-produs, care este vândut în nici un fel și nu este o chestiune de alegere.
Pentru a seta ai> ar putea fi complet dobândită, este necesar ca venitul a fost mai mult decât Q (cantitatea de bani) necesare pentru a cumpăra acest set. Coeficienții de gradul ai> 0 CaracterizaŃi relativă „valoarea“ produselor de consum.
Adăugarea la funcția obiectiv (5.5) constrângerile bugetare:
Obținem sarcina, numit modelul lui Stone. După cum sa menționat la p. 6, constrângerea bugetară ar trebui să se aplice la egalitate. Forma funcției Lagrange
Noi găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și care egalează le la zero:
In mod similar, obținem derivatele parțiale rămase, adică.:
Multiplicarea fiecare din ecuațiile (5.6) pe λpi și însumarea lor i, avem:
Deoarece constrângerea bugetară optimă punctul ca are loc egalitatea, se înlocuiește cu Q, obținem:
Împărțind de λ. obținem:
Expresia rezultată este substituită în ecuația (5.6):
Ie mai întâi a dobândit numărul minim de produs ai. Apoi a calculat suma de bani rămasă după aceasta, care este distribuit în mod proporțional cu „greutățile“ importanța i. Împărțind suma de bani din prețul de pi. obține opțional, suplimentar la numărul minim de produs și adăugați-l j- la AI. [1]
Lucrarea prezintă problema alegerii consumatorului, din care decizia este de a rezolva probleme pe un extremum condiționată. Este, de asemenea, considerat un caz special al problemei de alegere a consumatorului - model de piatră.
Am rezolvat problema unei metode extremum condiționată de substituție și a metodei multiplicatorilor lui Lagrange, sarcina de alegere a consumatorului.
Eu cred că cunoașterea acestui subiect poate fi utilă nu numai pentru economiști și oameni în mod special angajate în această știință, dar și angajații non-științifice, ca în viață se confruntă adesea cu decizia de probleme de acest gen.
Referințe:
Punerea în aplicare a modelelor de piatra sistemeMathCAD
Notăm numărul minim de beneficii pentru A:
Pentru parametrii dat, α, p și determinăm un set optim (,) și valoarea funcției de utilitate în acest punct (x1, x2, U):
Obținem valoarea optimă stabilită la consumator (4,3, 8,5), ceea ce înseamnă că unitățile de achiziție individuale 4,3 și primele bune bune 8,5 unități de secunde (numărul minim necesar de mărfuri și este de 1 până la 3 unități). Când acest raport este atins valoarea maximă de piatră preferință - 3,75 unități.
Construi modelul grafic interpretare piatra bazat pe datele inițiale, valoarea calculată a U și formula teoretică pentru linia de linie și indiferență buget: