Dimensiunea matritsaM Hermitian va fi numit definit negativ. dacă
pentru toate nenul (sau, echivalent, pentru toate nenul).
M este declarat a fi semidefinite pozitiv. dacă
pentru toate (sau, echivalent, pentru toate).
M va fi numit semidefinite negativ. dacă
pentru toate (sau, echivalent, pentru toate).
Astfel, matricea este definit negativ dacă toate valorile proprii sale sunt negative semidefinite, pozitiv dacă toate valorile proprii sale sunt semidefinite non-negativ și negativ în cazul în care toate valorile proprii sale sunt nonpositive.
Matricea M este semidefinite pozitiv dacă și numai dacă este matricea Gram a unor set de vectori. Spre deosebire de matricea pozitiv definită, acești vectori nu sunt neapărat liniar independente.
Pentru orice matrice A se realizează după cum urmează: A * A - semidefinite pozitiv și. Reciproca este de asemenea adevărat: orice pozitiv semidefinite matricea M poate fi exprimată ca M = A * A (Cholesky descompunere).
matrice Hermitian care nu este nici pozitiv, nici negativ semidefinite se numește nedeterminată.
3Elementarnye de conversie matritsy.Vyrozhdennye și degenerată.
matricea de transformare Opredelenie.Elementarnymi numite următoarele transformări:
1) on-line număr de multiplicare diferit de zero;
2) adăugarea la elemntov un element rând dintr-un alt rând;
3) schimbarea rânduri;
4) eliminarea (indepartarea) a uneia dintre rânduri identice (coloane);
Aceeași procedură utilizată pentru coloanele, numite de asemenea transformări elementare.
Folosind transformări elementare pot fi la orice rând sau coloană adăuga o combinație liniară a rândurilor rămase (coloane).
Ilisingulyarnoy numit kvadratnuyumatritsu degenerat al cărui factor determinant este zero.
Condiții echivalente de Extincția
Folosind diferite concepte de algebra liniara. poate provoca o varietate de condiții degenerării:
Rânduri sau coloane ale matricei sunt liniar dependente.
O matrice pătrată A este singular dacă și numai dacă. atunci când există un vector x nenul. astfel încât Ax = 0. Cu alte cuvinte, operatorul liniar. corespunzătoare matricei în baza standard, are un nucleu nenulă.
Nu există nici o matrice standard de matrice inversă. dar este matricea inversă generalizată (sau număr infinit
4 adăugări minore și algebroicheskie
Minoromelementa matrice de ordinul n se numește determinantul (n-1), pentru a -lea matricei A obținut prin ștergerea rândului i-lea și jth coloanei.
Când descărcarea determinantului de (n-1) comanda -lea, determinant original al elementelor de linie de transport nu sunt luate în considerare.
Exemplul 1. Crearea Minor obținut din matricea originală:
.
Algebrice complement Aijelementa Aij al matricei de ordinul n este numit său minor, luat cu semnul, în funcție de numărul de numerele rândurilor și coloanelor:
adică cofactor coincid cu minorul, în cazul în care cantitatea de numere de linie și coloană - un număr par, și este diferit de semnul minor atunci când suma rândului și coloanei - un număr impar.
Exemplul 1. Găsiți cofactori ale elementelor matricei
Determinantul determinanților matrice [determinant] - numerele și matricea sootvetstvuyuscheekvadratnoy obținute prin transformarea acesteia printr-o anumită regulă. Desemnarea medie (pentru matritsyA): DETA. Ex. determinant (a doua) matrice
și se calculează după cum urmează:
In general (pentru o matrice pătratică de ordinul n) izelementov matritsyA primul format din toate produsele posibile izn factori, fiecare conținând un element din fiecare rând și un element al fiecărei coloane, iar apoi aceste produse sunt adăugate de către o anumită regulă.
Determinantul matricei în care a trecut un șir arbitrar (de ex. I-lea), și o coloană arbitrară (napr.j th) nazyvaetsyaminorom. Are (n - 1) Pentru -lea, adică de ordinul a 1 mai mică decât originalul determinant ...
Detectoarele utilizate în tratamentul matricilor (vezi. TakzheAlgebraicheskoe adăugare) la ecuațiile resheniisistemlineynyh. în special în ceea ce privește zadachmezhotraslevogo echilibru.