Matematica. Cursul de cursuri pentru studenții cu specializare în psihologie
Partea 1: Elemente de teoria mulțimilor și logică matematică
legile logicii. operațiuni cuantificator
Legile logicii
Universal și cuantificatori existențiale
Negația declarațiilor cu cuantificatori
Condițiile necesare și suficiente
1. Legile logicii
Un rol important în logica a jucat afirmații adevărate în mod identic și identic false (formule).
Formula este numit în mod identic adevărat. dacă este setat la „true“ pentru toate valorile variabilelor propoziționale care apar în ea. Este scris ca.
Formula se numește o identitate falsă. dacă este setat la „false“ pentru toate valorile declarațiilor sale constitutive. Este scris ca.
Exemplul 1. Două formule sunt date: 1; 2. Asigurați-un tabel de adevăr și să indice care este identic cu formula adevărat, ceea ce - în mod identic fals.
Decizie. Fiecare variabilă propozițională poate avea două valori: sau. Prin urmare, tabelul de adevăr cu formula ar trebui să conțină rânduri, în care: - numărul variabilelor propoziționale distincte în formulă.
1. Compoziții pentru masă formula adevăr care vor conține cele două linii.
Comparând ultimele două coloane din tabelul de adevăr pentru formula și rețineți că acestea conțin aceleași valori de adevăr cu formulele noastre, și pentru toate același set de variabile propoziționale și. Prin urmare, formulele sunt echivalente. adică.
formule și echivalență înseamnă că orice declarații și formule, și fie simultan adevărate sau false. Cu alte cuvinte, valabilitatea (sau fals), dintre care una urmează adevărul (falsității) altele.
Noi cunoștințe despre lumea poate fi obținută prin faptul că nu numai că se referă la experiența, dar, de asemenea, prin aplicarea raționamentului logic. Reguli pe baza cărora valoarea de adevăr a unei zicale concluzii cu privire la adevăr valori alte declarații, numite zakonamimyshleniya sau legi logice.
(Legea dublei negații)
(Legea contradicției)
(Legea mijloc exclus)
(Legea de Morgan)
(Legea de Morgan)
(Contrapunere)
Exemplul 3. Legea îndepărtării dublei negației permite înlocuirea unei declarații simplă propoziție complexă. De exemplu, „oricare două puncte nu poate aparține unei linii“ () este echivalentă cu afirmația „oricare două puncte aparțin unei linii“ ().
2. cuantificatorii universale și existențiale
cuantificator universal
Luați în considerare enunț nedefinită (predicat) din care adevăr sau minciună depinde de valoarea variabilei. De exemplu, propunerea - o pedeapsă nedeterminată. Devine o afirmație adevărată, atunci când, și anume: „“, iar atunci când acesta devine o declarație falsă.
Setul de elemente astfel încât declarație nedeterminată devine adevărată, se numește un set de declarații de adevăr.
Deci, pentru a iesi din predikatavyskazyvanie. Acesta poate fi într-o rostire nedeterminat înlocui variabila cu unul din setul de valori de adevar. Dar există un alt mod de a construi situații - folosind operații logice, numite cuantificatori. Cel mai frecvent utilizate două cuantificator - cuantificatorul universal și cuantificatorul existențial.
În cazul în care declarația de incertitudine este valabil pentru toate elementele setului, cuantificatorul universal este folosit și scrie :. În acest caz, o propoziție nedefinită se transformă într-o declarație adevărată. cuantificator universal este inversată (prima literă Toate cuvânt în limba engleză - „toate“).
Intrarea va avea următorul cuprins:
pentru orice (toate, fiecare) valori în declarația set este adevărată; sau
fiecare (oricare) din multitudinea are proprietatea; sau
indiferent de setul, afirmația este adevărată.
Într-o rostire variabila nedefinita numită o variabilă liberă (poate lua valori diferite din set), iar rostirea se numește variabilă. Cuantificator conexe.
Exemplul 4. La setul de numere naturale este definit forma propozițiilor: „Numărul este un multiplu de cinci.“ Aplicarea unei declarații cuantificator universal nedeterminată, obținem declarația, ceea ce înseamnă: „Toate numerele naturale sunt multipli de cinci.“
Pentru a demonstra falsitatea declarațiilor, adică, să-l nege, este suficient pentru a indica doar un element pentru care este fals - pentru a găsi, cum se spune, un contraexemplu.
Exemplul 5. Se determină adevărate sau false declarații cu Cuantificator universale „În oricare dintre colțuri triunghi drept“.
Decizie. Spunând: „În orice triunghi unul dintre unghiurile este drept“ fals. Ca un contraexemplu poate conduce un triunghi care nu are unghi drept.
Dacă sentința nedefinită (predicat) este valabil și pentru cel puțin un element, apoi utilizați cuantificatorul existențial și scrie. În acest caz, o propoziție nedefinită se transformă într-o declarație adevărată. Cuantificator existentiala este inversată (prima literă a cuvântului englezesc Exists - «acolo").
Intrarea va avea următorul cuprins:
1) există o valoare a unei multitudini de astfel încât este adevărat; sau
2) pentru anumite valori ale unei declarații pluralitate este adevărată; sau
3) cel puțin o valoare din setul astfel încât afirmația este adevărată.
Într-o rostire variabila nedefinita numită o variabilă liberă (poate lua valori diferite din set), iar rostirea se numește variabilă. legate de cuantificatorul existențial.
Exemplul 6. Fie mulțimea numerelor naturale este dat predicat. „Numărul este un multiplu de 5“ Declarație de înregistrare.
Decizie. Aplicarea cuantificator existențial, putem obține o declarație de la acest predicat - „Există un multiplu întreg de 5.“
Utilizarea Cuantificator permite să se stabilească adevărul sau falsitatea declarațiilor. Proverbul este adevărat. atunci când există cel puțin o valoare din setul pentru care afirmația este adevărată și falsă. atunci când fiecare din multitudinea de declarații valori este falsă.
Exemplul 7. Se determină adevărate sau false declarații cu un cuantificator existențial „Există triunghiuri in care unul dintre colțurile unei drepte“.
Decizie. „Există triunghiuri, în care unul dintre unghiurile este corect“ - o declarație adevărată. Într-adevăr, este posibil să se construiască un triunghi dreptunghiular (de fapt - nu unul).
Declarații de construcție „“ și „“ operațiunilor logice predicat menționate cuantificatorii suspendate sau operații logice ale variabilei de legare.
3. Negația cu cuantificatori
Noi construim de multe ori o declarație de negare, formulate cu ajutorul cuantificatorilor.
Exemplul 8. Există un predicat „- triunghi dreptunghiular“ pe setul de triunghiuri. Stai pe un predicat transformă cuantificator universal, existența și de a determina valoarea logică obținută declarații.
Decizie. A spune - „Orice triunghi - un dreptunghiular“ fals. Spunând - „Există un triunghi dreptunghic“ adevărat.
Cum de a construi o negare a declarațiilor și?
Fiecare negare a declarațiilor cu cuantificatori se poate construi verbal în două moduri.
Prima metodă. utilizați particula „nu“ la toate declarațiile. Acest mod de a nega declarații simbolic portretizat ca sau care este aplicată pe întreaga linie de negare a spune, inclusiv cuantificatori.
Exemplul 9 - Construct enunțuri negare „Orice triunghi dreptunghiular“ și - „Există un triunghi dreptunghic“ folosind particule „nu“ pentru întreaga rostirii.
Decizie. Pentru declarații false - „Orice triunghi dreptunghiular“ obține negația - „Nu este adevărat că fiecare triunghi dreptunghiular“, care este o afirmație adevărată.
Pentru o declarație adevărată - „Există un triunghi dreptunghic“ obține o negare - „Nu este adevărat că există un triunghi dreptunghic“ - o declarație falsă.
A doua metodă. folosi particula „nu“ numai pentru predicat, dar cuantificatorii și sunt înlocuite cu unul pe altul. Acest lucru este reprezentat simbolic, respectiv, după cum urmează:
care este aplicată caracteristică negarea predicatul, și este înlocuit cu un cuantificator cuantificator, și vice-versa.
Exemplul 10 - Construct enunțuri negare „Orice triunghi dreptunghiular“ și - „Există un triunghi dreptunghic“ folosind particule „nu“ numai pentru predicat.
Decizie. În conformitate cu metoda de declarație falsă a spus - „Orice triunghi dreptunghiular“ obține negația în formă - „Există un triunghi, care nu este o dreptunghiulară“ - afirmație adevărată.
Pentru o declarație adevărată - „Există un triunghi dreptunghic“, a primit în formă de negare - „Fiecare triunghi nu este un dreptunghiulară“ - o declarație falsă.
A doua metodă de construire a unei declarații de refuz cu cuantificatorii ne permite să formuleze următoarea regulă.
Regula de negare de construcție cu cuantificatori
În cazul în care declarația conține cuantificatori:
peste predicatul pentru a pune un semn de negare „“
Cuantificator înlocui cuantificator existențial, sau
înlocuiți cuantificatorul cuantificatorul existențial,
veți obține o declarație a nega această afirmație.
Având în vedere normele formulate de negarea ia forma declarațiilor, precum și declarațiile de negare ia forma.
4. Condiții necesare și suficiente
În multe declarații și în formularea teoremelor sunt adesea folosit cuvântul „suficient“, „este necesar“, „necesare și suficiente“. Care este sensul acestor termeni?
Rezultă din.
este o consecință.
În cazul în care, atunci.
„Am realizat atunci. când a executat. "
„Acesta va avea loc. când a executat. "
Spunând numit suficient pentru exprimare. Declarația prevede următoarele: „Pentru a satisface suficient. pentru a satisface. "
Proverbul este o condiție prealabilă pentru exprimare. Declarația prevede următoarele: „Pentru a satisface nevoia de a. pentru a satisface. "
Exemplul 11. Se consideră spune: „Dacă am trecut toate examenele în sesiunea, apoi sa mutat la al doilea an.“ Găsiți o condiție suficientă și necesară.
Decizie. A spune - „Am trecut examenele în sesiunea“ este o condiție suficientă pentru expresia - „M-am dus la al doilea an.“ Deci, suna-te un al doilea de studentie, tu doar poate, atunci când treci toate examenele. Spunând - „M-am dus la al doilea an“ este doar o condiție necesară (rezultatul) pentru declarațiile - „Am trecut toate examenele în sesiunea".
În cazul în care declarațiile, și astfel încât, fiecare dintre aceste declarații vor fi necesare și dostatochnymusloviem pentru un alt discurs.
În acest caz, în loc de două implicații și echivalențe scris, citit-o ca „dacă și numai dacă.“
Exemplul 12. Se consideră teorema: „Pentru ca triunghiul era un triunghi isoscel, este necesar și suficient ca unghiurile de la baza triunghiului sunt egale.“ Aici se spune - „triunghi isoscel“ este o condiție necesară și suficientă pentru expresia - „unghiurile de bază ale unui triunghi sunt egale“, și vice-versa.
În loc de cuvintele „necesare și suficiente“ folosesc adesea cuvântul „dacă și numai dacă“, „dacă și numai dacă.“
Uneori cuvântul „condiție“ se înlocuiește cu „semnul“ cuvânt și a vorbit despre semnele de necesitate sau criteriu suficient, sau un criteriu necesar și suficient.
În acele cazuri în care teorema conține Slova „necesare și suficiente“ dovezi trebuie să fie în mod necesar compus din două părți: 1) dovada necesității condiției 2) dovada suficiența condiției. înainte și înapoi, fiecare dintre acestea trebuie să fie dovedit a fi o teoremă a justiției nu trebuie să fie doar o altă teoremă: în această formulare, de fapt, formularea a două teoreme combinate.