4. Determinarea vectorului V aparține și, de asemenea, numit o combinație liniară a numerelor vectori se numesc coeficienți ai combinației.
Definiție 5. Combinația se numește banală dacă toate; în cazul în care există un coeficienți non-zero, atunci este numit non-triviale.
Determinarea vectorilor 6.Sistema este dependentă liniar. în cazul în care există o combinație netriviala acestor vectori este egal cu vectorul zero. Dacă numai o combinație banală este egal cu vectorul zero, sistemul este declarat a fi liniar independente.
Un sistem format dintr-un vector x non-zero. T liniar independentă. k. este posibilă numai în cazul în care. Un sistem format dintr-un vector zero. liniar dependentă, adică. a. Chiar și atunci când.
Exemplul 5. în spațiul liniar oricare doi vectori coliniare sunt liniar dependente. Lăsați vectorii vectorului x sunt liniar dependente și coliniare. Din aceasta rezultă că există un număr. asta. Apoi - o combinație netriviala egală cu vectorul zero.
Pentru vectorii unui spațiu liniar următoarele afirmații sunt adevărate:
1. Dacă sistemul n vectori liniar dependenți conectați m vectori, obținem un sistem de n + m este liniar vectori dependente.
2, vectorii rămași formează un sistem liniar independent Dacă sistemul conține n liniar vectori independenți îndepărtați orice vectori m (m 3. În cazul în care există sunt cele dintre vectorii care. unde - numărul, atunci vectorii sunt liniar dependente. 4. Dacă există un zero între vectori, acești vectori sunt liniar dependente. Teorema. (Criteriul vectori dependență liniară). Pentru ca vectorii sunt liniar dependenți dacă și numai dacă cel puțin unul dintre acești vectori este o combinație liniară a celorlalte. 36. Dimensiunea și baza unui spațiu liniar. Coordonatele unui spațiu liniar. Determinarea 7.Pust în spațiul V liniar, sunt îndeplinite următoarele condiții: 1) există n vectori liniar independenți; 2) orice sistem de n + 1 vectori sunt liniar dependente. Apoi, numărul n este numit dimensiunea V. În cazul în care spațiul constă dintr-un singur element, atunci dimensiunea sa este egală cu 0. Indicat de dimensiunea (de dimensiunea engleză -. Dimensiune). spațiu 8. Determinarea V de dimensiune n va fi numit spațiul n-dimensional. Definiție 9. Baza de spațiu n-dimensional este orice set ordonat de vectori liniar independenți n. Teorema.Esli - bază n-dimensional spațiu V, atunci orice vector al acestui spațiu este exprimat liniar în termeni de vectori. t. e. Să. Apoi, sistemul de n + 1 vectori sunt liniar dependente, m. F .. Numărul. t. Pentru. Altfel, va fi o combinație netriviala a vectorilor este egal cu zero. Ne exprimăm vectorul acestei ecuații: . QED. Teorema.Esli - un sistem de vectori liniar independenți ai oricărui vector V și acest spațiu este exprimat în termeni liniar. spatiul V este n-dimensional. Exemplul 6. în exemplul 1, spațiul dintre cele trei vectori formează o bază. Ele sunt liniar independente, iar fiecare vector este liniar exprimat prin ele. În consecință, dimensiunea spațiului este egal cu trei. două spațiu V liniar și lăsați setat. Dacă aceste spații între elementele instalate o corespondență, cu meciuri. apoi scrie. Determinarea 10.Dva liniar spațiul real V se numesc izomorfe în cazul în care între elementele lor pot stabili o corespondență unu-la-unu, astfel încât, dacă. . atunci. în cazul în care - numărul real. Teorema.Dva spațiul real liniar sunt izomorfe dacă și numai dacă au aceeași dimensiune. Teorema.Esli - baza spațiului liniar, atunci pentru orice vector al acestui spațiu există un sistem unic de numere astfel încât. Teorema 12.2 presupune existența unui astfel de sistem. care se realizează. Pentru a demonstra unicitatea. Să presupunem că există un sistem diferit. astfel încât. Apoi. Prin gruparea termeni, obținem Rezultă că. deoarece vectorii sunt liniar independenți. Acest lucru dovedește teorema.