Matricile sunt utilizate pe scară largă în matematică pentru un sisteme liniare de înregistrare compacte sau sisteme de ecuații diferențiale. Apoi, numărul de rânduri ale matricei corespunde numărului de ecuații și numărul de coloane egal cu numărul de necunoscute. Unitatea de Matrix vă permite să reduceți soluția la voluminoase operațiunile de matrice compactă SLAE.
Exemple de subiecte:
Matricele: definiții și concepte de bază
Sarcină. Care este elementul de matrice?
Decizie. Găsiți un element care se află la intersecția de-al doilea rând și a treia coloană:
Sarcină. Calculați determinantul
Decizie. Efectuați următoarea transformare pe rândurile de determinant: scade al doilea rând din primele patru și primul rând al treilea, înmulțit cu șapte, ca urmare, în conformitate cu proprietățile determinant, obținem determinant prezent.
Determinantul este zero, deoarece a doua și a treia linii sunt proporționale.
Sarcină. Calculați determinantul aducându-l la o formă triunghiulară.
Decizie. În primul rând, nu zerourile din prima coloană sub diagonala principală. Toate conversii vor efectua mai ușor, în cazul în care elementul este egal cu 1. Pentru a face acest lucru, am interchange prima și a doua coloană a determinantului care, în funcție de factorul determinant al proprietăților, va duce la faptul că el se transformă în semn opus:
În continuare vom obține zerouri în prima coloană, cu excepția elementului. Pentru a face acest lucru, se scade de-al treilea rând de primele două, și se adaugă în primul rând, avem o a patra linie:
În continuare, vom ajunge la zero în a doua coloană pe locul elementelor care stau sub diagonala principală. Din nou, dacă elementul diagonal este egal. calculele vor fi mai simple. Pentru acest schimb liniile a doua și a treia (în timp ce modificările la semnul opus al determinantului):
În continuare, nu zerouri în a doua coloană sub diagonala principală, pentru aceasta se procedează după cum urmează: se adaugă cele trei doua și a patra la a treia linie - două rânduri a doua, obținem:
Apoi, scoate din linia a treia (-10) pentru a determinantului și de a face zerouri în coloana a treia sub diagonala principală, iar în acest scop, pentru a adăuga a treia linie ultima:
Găsirea unei matrice inverse
Sarcină. Pentru a gasi inversa unei matrice prin matricea Adjoint.
Decizie. Atribuim la o anumită unitate de matrice la dreapta doua ordine:
Noi scade din primul rând al doilea (pentru acel element din primul rând scade elementul corespunzător al doilea linie):
Din a doua vom lua departe primele două linii:
Primul și al doilea rânduri sunt schimbate:
Din a doua vom lua departe primele două linii:
A doua linie este multiplicată cu (-1) și pentru a adăuga primul rând al unui al doilea:
Deci, stânga a primit matricea de identitate, și, prin urmare, matricea de pe partea dreaptă (pe partea dreaptă a liniei verticale), este inversul originalului.
Astfel, constatăm că
Sarcină. Găsiți matricea inversă pentru cele
Decizie. Pasul 1: Găsiți determinant:
Sarcină. Găsiți matricea inversă a matricei
Decizie. Calculăm determinantul matricei:
Deoarece determinantul nu este zero, matricea are un invers. Matricea inversă a matricei este dată de:
Găsim matrice aliată. Pentru a face acest lucru, vom calcula cofactori elementelor matricei:
Transpunând matricea (adică coloanele șirurile de matrice face cu același număr):
Găsirea rangul unei matrice
Sarcină. Găsiți rangul matricei
Decizie. Cu ajutorul transformărilor elementare peste liniile ei reduc matricea formei esalon. Pentru a face acest lucru, mai întâi scade două secunde de la al treilea rând:
Scădem din linia a doua al patrulea rând înmulțit cu 4; pe al treilea - două trimestre:
A doua linie se va adăuga primele cinci, a treia - trei treia:
Swap prima și a doua linii:
Apoi, a patra și primele linii:
Sarcină. Găsiți rangul de. folosind metoda tăiate minorilor.
Decizie. minim minori ordine minori sunt în primul rând, pentru că sunt egale cu elementele matricei. Luați în considerare, de exemplu, minoră. poziționat în primul rând și prima coloană. Învecinându sale prin al doilea rând și coloana a doua, se obține minor; Minor ia în considerare o altă a doua pentru acest fringing minor de-al doilea rând și coloana a treia, apoi au minor. adică, gradul de cel puțin două. În continuare, considerăm că minorii din al treilea ordin, care se învecinează cu minore. Astfel de doi minori: o combinație de-al treilea rând la a doua coloană și a patra coloană. Calculăm aceste minori:
deoarece conține proporțional două coloane (prima și a doua); a doua minoră
transformate după cum urmează: se adaugă un al treilea la prima linie și a doua două treimi:
Și, din moment ce prima și a doua rânduri sunt proporționale, minorul este zero.
Astfel, toți minorii care mărginesc de ordinul trei sunt zero. Și, atunci, rangul este egal cu doi: