Definiția ecuației Bernoulli. Metodele de rezolvare ecuatii diferentiale aducerea lui Bernoulli ecuației liniare și metoda lui Bernoulli. Un exemplu de soluții detaliate metoda ecuației lui Bernoulli.
ecuație diferențială Bernoulli - ecuația de forma:
. unde n ≠ 0. n ≠ 1. p și q - o funcție de x.
Soluție ecuație diferențială Bernoulli prin aducerea ecuației liniare
Să considerăm ecuația diferențială Bernoulli:
(1)
unde n ≠ 0. n ≠ 1. p și q - o funcție de x.
Se împarte prin y n. Când y ≠ 0 sau n <0 имеем:
(2).
Această ecuație se reduce la o schimbare liniară de variabile:
.
Vom arăta acest lucru. Conform regulii de diferențiere o funcție compozit:
;
.
Substituind în (2) și transformarea:
;
.
Ea - liniar. în raport cu z. ecuație diferențială. După soluțiile sale, atunci când n> 0. ar trebui să ia în considerare cazul y = 0. Când n> 0. y = 0 ca o soluție a ecuației (1) și trebuie să fie incluse în răspunsul.
Decizia de Bernoulli
Această ecuație (1) poate fi rezolvată prin Bernoulli. În acest scop, vom căuta o soluție pentru ecuația inițială ca produs de două funcții:
y = u · v,
unde u și v - o funcție de x. Diferențierea în ceea ce privește x:
y '= u' v + u v“.
Substituind în ecuația originală (1):
;
(3).
V Așa cum am lua orice nenulă soluție a ecuației:
(4).
Ecuația (4) - aceasta este o ecuație cu mai multe variabile. Rezolva aceasta și să găsească o anumită soluție v = v (x). Înlocuind o soluție specială (3). Deoarece satisface ecuația (4). expresia din paranteze dispare. obținem:
;
.
În cazul în care v - este deja cunoscută în funcție de x. Această ecuație cu mai multe variabile. Am găsit soluția generală, și împreună cu ei ecuația y de mai sus = uv.
exemplu, soluții de ecuații diferențiale Bernoulli
rezolva ecuația
La prima vedere, se pare că această ecuație diferențială nu este ca ecuația lui Bernoulli. Dacă presupunem că variabila x independente și y - dependente (adică, în cazul în care y - este o funcție de x), atunci este acest lucru. Dar dacă presupunem că variabila independentă x y și - dependente, este ușor de văzut că acest lucru este - ecuația Bernoulli.
Deci, considerăm că x este o funcție de y. Înlocuim și se înmulțește cu:
;
;
(A.1).
Aceasta - ecuația Bernoulli cu n = 2. Se deosebește de cea discutată mai sus, ecuația (1). Numai desemnarea variabilelor (x în loc de y). Este rezolvată prin Bernoulli. Facem schimbarea:
x = u v,
în cazul în care u și v - funcție de y. Diferențierea în ceea ce privește y:
.
Înlocuim (A.1)
;
(A.2).
Cautam orice funcție v nenul (y). satisface ecuația:
(A.3).
variabile comune:
;
;
.
Fie C = 0. pentru că avem nici o soluție a ecuației (3).
;
.
Suplean în (A.2), considerând că expresia din paranteze este zero (din cauza (A3)):
;
;
.
variabilă în comun. În cazul în care u ≠ 0, avem:
;
(A.4);
.
În al doilea integralei face schimbarea:
;
.
Integrați de părți:
.
Substitut (A4):
.
Du-te înapoi la variabila x:
;
;
.