Și vectorii proprii autovalorile operatorului liniar
Cel mai simplu operator liniar - multiplicarea vectorului în numărul de \ (\ lambda \). Această afirmație se întinde pur și simplu toți vectorii în \ (\ lambda \) din nou. matricea sa formeze orice bază - \ (diag (\ lambda, \ lambda \ lambda) \.). Fix pentru baza definiteness \ (\\) într-un spațiu vectorial \ (\ mathit \) și ia în considerare operatorul liniar cu formă matrice diagonală în această bază, \ (\ alpha = diag (\ lambda _1, \ lambda _2. \ Lambda _n) \ ). Această afirmație, potrivit definiției formei matricei, se întinde \ (e_k \) a \ (\ lambda _k \) ori, adică, \ (Ae_k = \ lambda _ke_k \) pentru toate \ (k = 1,2. N \). Cu o matrice diagonală este convenabil să funcționeze, pentru că pur și simplu a construit un calcul functional: pentru orice funcție \ (f (x) \) poate pune \ (f (diag (\ lambda _1, \ lambda _2 \ lambda _n)) = diag (f (. \ lambda _1), f (\ lambda _2). f (\ lambda _n)) \). Astfel, apare o întrebare firească: dacă există un operator \ liniar (A \), este posibil să se aleagă o bază în spațiul vectorial la forma matricei \ (A \) operatorul este diagonală în această bază? Această întrebare conduce la determinarea valorilor si vectorilor proprii.
Definiția. Să presupunem că operatorul \ liniar (A \) există un vector \ nenul (u \) și numărul \ (\ lambda \) astfel încât \ [Au = \ lambda \ cdot u. \ Quad \ quad (59) \] Apoi vectorul \ (u \) este numit un eigenvector \ (A \), iar numărul de \ (\ lambda \) - cel eigenvalue \ (A \) corespunzătoare. Setul tuturor valorilor proprii se numește spectrul operatorului \ liniar (A \).
Există o problemă naturală. găsi un operator liniar dat valorilor proprii săi și vectorii proprii corespunzătoare. Această problemă se numește problema spectrului unui operator liniar.
Ecuația pentru valorile proprii
Fix pentru baza definiteness unui spațiu vectorial, adică, presupunem că aceasta este stabilită o dată pentru totdeauna. Apoi, așa cum sa discutat mai sus, operatorii liniari pot fi reduse la luarea în considerare a matricelor - forma de matrice a operatorilor liniari. Ecuația (59) în formă de \ [(\ alfa - \ lambda E) u = 0. \] Aici \ (E \) - matricea identitate și \ (\ alpha \) - sub forma unei matrice de operator liniar nostru \ (A \). Acest raport poate fi interpretat ca un sistem de \ (n \) ecuații liniare pentru \ (n \) necunoscute - coordonatele \ (u \). Și este un sistem omogen de ecuații, și trebuie să o găsim o soluție trivial. Anterior, a fost dată condiția existenței unei astfel de soluții - este necesar și suficient ca gradul de sistem a fost mai mic decât numărul de necunoscute. Prin urmare, ecuația pentru autovalorile: \ [det (\ alfa - \ lambda E) = 0. \ Quad \ quad (60) \]
Definiția. Ecuația (60) se numește ecuația caracteristică pentru un operator \ liniar (A \).
Vom descrie proprietățile acestei ecuații și soluțiile sale. Dacă scrie său explicit, obținem o ecuație de forma \ [(-1) ^ n \ lambda ^ n +. + Det (A) = 0. \ Quad \ quad (61) \] Pe partea stângă este un polinom în variabila \ (\ lambda \). Aceste ecuații sunt numite algebrică grad \ (n \). Dă informațiile necesare cu privire la aceste ecuații.
Ajutor cu privire la ecuații algebrice.
Teorema fundamentală a algebrei. Ecuația (61) are o soluție pe plan complex \ (\ mathbb \).
Corolar. Ecuația (61) este în planul complex ca soluții, gradul său (deciziile sunt luate în considerare în vedere multitudinea).
Exemplu. Să considerăm ecuația \ [\ lambda (\ lambda-1) ^ 2 (\ lambda + 1) ^ 3 = 0. \] Această ecuație este de 6 grade. Acesta are următoarele soluții: \ (\ lambda = 0 \), \ (\ lambda = 1 \), \ (\ lambda = -1 \) și multiplicitatea primei soluții este egal cu 1 (astfel de soluții sunt numite rădăcini simple,), multitudinea de soluții secunde este 2, al treilea multitudinea de soluții este egal cu 3. decizii de multiplicitate mai mare de 1, se numește multiple. În cazul nostru, 1 + 2 + 3 = 6. Ecuațiile grad \ (n \ geq 5 \) nu pot fi rezolvate de către radicalii (Abel-Ruffini teorema). Pentru ecuațiile grad \ (n = 2,3,4 \) unei astfel de formule explicite există. Cu toate acestea, în practică, ecuația un grad ridicat poate fi rezolvată cu succes cu ajutorul calculatoarelor. Astfel, vom presupune că avem o modalitate de a construi o soluție a ecuației (61).
Luați în considerare problema construcției vectorul propriu care corespunde unui cunoscut valoare proprie \ (\ lambda _k \). Pentru aceasta ne întoarcem la (\ alpha - \ lambda_k E) ecuația \ [u = 0. \] Această ecuație poate fi înțeleasă ca un sistem de ecuații liniare pentru coordonatele \ (u \) - eigenvector corespunzătoare valorii proprii \ (\ lambda _k \). Mai mult, acest sistem are o soluție nontrivial, deoarece gradul de sistem este mai mic decât numărul de necunoscute. Rezolvarea acestui sistem de metoda Gauss, putem determina coordonatele \ (u \). Parcurgând toate valorile \ (\ lambda _k \) \ (k = 1,2. N \), găsiți vectorii proprii corespunzătoare \ (u_k \).
Exemplu. Ne găsim valorile proprii și vectorii proprii ale unei transformări liniare dată în unele bază următoarea matrice: \ [A = \ stânga (\ begin5 -7 \\ 0 - 3 1 0 \\ 12 6 -3 \ end \ dreapta). \] Matrix \ (A- \ lambda E \), în acest caz, are forma: \ [A- \ lambda E = \ stânga (\ begin5 - \ lambda -7 \\ 0 - 3 1- \ lambda 0 \\ 12 6 -3 - \ lambda \ final \ dreapta). \] Compute determinant \ (det (A- \ lambda E) \) și scrise ecuația eigenvalue: \ [det (A- \ lambda E) = - (\ lambda +3) (\ lambda ^ 2-6 \ lambda -16) = 0. \] Ca atare, găsim 3 valori proprii: \ (\ lambda _1 = -3, \ lambda _2 = 8, \ lambda _3 = -2 \). Avem 3 valori sobsvennyh, toate au multiplicitate 1, și anume, Acest lucru simplu. Valori proprii Noi calcula vectorii proprii corespunzătoare.
1. Se consideră \ (\ lambda _1 = -3 \). Ecuația corespunzătoare pentru eigenvector \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) este de forma: \ [\ stânga (\ begin8 -7 \\ 0 - 3 4 0 \\ 12 6 0 \ end \ dreapta) \ stânga (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ dreapta) = 0, \] în cazul în care dreptul este zero 3-vector. Acest sistem de ecuații pentru 3 necunoscutelor are următoarea soluție: \ (u = (0,0,1) ^ T \).
2. Se consideră \ (\ lambda _2 = 8 \). Ecuația corespunzătoare pentru eigenvector \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) este de forma: \ [\ stânga (\ begin-3 -7 \\ 0 - 3 -7 0 \\ 12 6 5 \ end \ dreapta) \ stânga (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ dreapta) = 0, \] în cazul în care dreptul este zero 3-vector. Acest sistem omogen de ecuații pentru necunoscutele \ (u_1, u_2, u_3 \) are o soluție: \ (u = (7, 3, 0) ^ T \).
3. Luați în considerare \ (\ lambda _3 = -2 \). Ecuația corespunzătoare pentru eigenvector \ (u = (u_1, u_2, u_3) ^ T \) este de forma: \ [\ stânga (\ begin7 -7 \\ 0 - 3 3 0 \\ 12 6 -1 \ end \ dreapta) \ stânga (\ beginu_1 \\ u_2 \\ u_3 \ end \ dreapta) = 0, \] în cazul în care partea dreaptă este zero 3 vector. Acest sistem omogen de ecuații pentru necunoscutele \ (u_1, u_2, u_3 \) are o soluție: \ (u = (1,1,0) ^ T \).
Proprietăți vectorii proprii
Teorema. Să presupunem că toate valorile proprii ale operatorului liniar \ (A \) - simplu. Apoi setul de vectori proprii corespunzătoare acestor valori proprii formează o bază a spațiului vectorial.
Din condițiile teoremei că toate autovalorile \ (A \) sunt diferite. Să presupunem că un set de vectori este dependentă liniar pe cont propriu, astfel încât există o \ constantă, dintre care nu toate sunt zero, care îndeplinește condiția (c_1, c_2 c_n \.): \ [\ Sum_ ^ nc_ku_k = 0. \ Quad \ quad (62) \]
Luați în considerare astfel de formule includ unul care cuprinde un număr minim de termeni și va acționa asupra acestuia de către operatorul \ (A \). In virtutea liniaritate sale obținem: \ [A \ left (\ sum_ ^ nc_ku_k \ dreapta) = \ sum_ ^ nc_kAu_k = \ sum_ ^ nc_k \ lambda _ku_k = 0. \ Quad \ quad (63) \]
Pentru a fi specific, \ (c_1 \ neq 0 \). Multiplicând (62) prin \ (\ lambda _1 \) și scăderea (63), obținem relația de forma (62), dar care cuprinde mai mult de un termen. Această contradicție demonstrează teorema.
Deci, în condițiile teoremei există o bază asociată cu un operator liniar dat - baza propriilor vectorii săi. Luați în considerare forma de matrice a operatorului în această bază. După cum sa menționat mai sus, \ (k \) - th coloană a acestei matrice - este extinderea vectorului \ (Au_k \), în baza. Cu toate acestea, prin definiție \ (Au_k = \ lambda _ku_k \), astfel încât această expansiune (care este scris pe partea dreaptă) conține doar un singur termen și este o matrice diagonală construită. Ca urmare, se constată că condițiile de forma de matrice Teorema în baza vectorilor proprii sale este egal cu \ (diag (\ lambda _1, \ lambda _2. \ Lambda _n) \). Prin urmare, în cazul în care necesitatea de a dezvolta un calcul funcțional pentru operator liniar în mod rezonabil să se lucreze în propriile vectori.
Dacă unele dintre valorile proprii ale operatorului liniar are multipli de situația devine mai dificilă, și poate include celulele asa-numitele Iordania. Ne referim la cititor la manuale mai avansate pentru a studia situațiile relevante.
Găsiți și valorile proprii ale vectorilor proprii unui operator liniar definit într-o matrice de bază \ (A \).
1. \ [A = \ stânga (\ begin0 1 \\ 0 - 3 4 \\ 0 - 2 1 4 \ end \ dreapta). \]
2. \ [A = \ stânga (\ begin-3 2 \\ 0 - 2 1 0 \\ 15 -7 4 \ end \ dreapta). \]
3. \ [A = \ stânga (\ begin4 0 5 \\ 7 -2 9 \\ 3 0 6 \ end \ dreapta). \]
4. \ [A = \ stânga (\ begin-1 -2 12 \\ 0 4 3 \\ 0 5 6 \ end \ dreapta). \]