geodezic-lic - conceptul geometric generalizand conceptul de o linie dreaptă (sau un segment de linie) geometriei euclidiene la spațiile de formă mai generală. G. Definiții l. în spații diferite, care depind de structurile (element liniar metric, conexiunea liniara) este baza geometriei spațiului. Geometria spatiilor unde metrica este considerată a priori dat, G. L. este definită ca fiind cel mai scurt pe plan local. În spațiile cu conexiune G. l. este definit ca curbele în vectorul tangent k-ryh este tangent atunci când deplasarea paralelă a lungul curbei. În riemannian și geometriilor Finsler unde sunt definite inițial element liniar (cu alte cuvinte - o măsurătoare pe spațiul tangent în orice punct al colectorului), iar curbele sunt obținute lungime de integrare ulterioară, G. L. este definit ca o lungime funcțională curba extremale.
Pentru prima dată, G. l. I. Bernoulli studiat (J. Bernoulli) și Euler (L. Euler) in gasirea cel mai scurt la suprafețe regulate în spațiul Euclidian. Pe aceste linii dispar curbura geodezică; primare normale aceste curbe paralele cu suprafața normală. Când îndoire G. l. salvat. conservatoare mișcare mecanică. sistem cu un număr finit de grade de libertate este descrisă de G. l. într-un spațiu Riemann selectat în mod corespunzător.
Riemann spații G. l. a studiat mai mult pe deplin.
Fie M n să fie un spațiu Riemanniană n-dimensional cu metrica. clasa tensor. Determinarea G. l. cum ar fi extremals vă permite să scrie ecuațiile diferențiale ale sale coordonate locale arbitrare, în cazul în care orice parametrizare:
G. l altă formă echivalentă a ecuațiilor. derivată din cerința paralelismului transferului de-a lungul vectorului tangent Dacă t s este lungimea arcului de-a lungul G. l. sau s, atunci o funcție lineară
Determinarea G. l. Ecuația (1) include, de asemenea, canonic. parametru de selecție. Cu această definiție, se trece prin fiecare punct G. l. tangent vector la cartografierea inițială a spațiului tangent la punctul în spațiu este studiat cu harta exponențială pol. Aproape de pornire punctul x 0 - inserarea Difeomorfism in studiu coordonatele spațiu Riemann.
Mai multe proprietăți G. l. stocate la curbele, definite de ecuațiile de ordinul 2, dacă, cum ar fi (1), funcția F - gradul 2 omogen pentru determinarea acestor ecuații în termenii tangenta mănunchiuri nebulizare conduce la conceptele și curbele lor integrale. acest ultim caz este privat G. l. (A se vedea punctul. [2]).
Comportamentul G. l. într-un mic similar cu comportamentul liniilor în spațiu euclidian. Destul arc mic G. l. este cea mai scurtă dintre toate curbele cu aceleași rectifica capete. Prin orice punct în orice direcție trece doar G. l. Fiecare punct are o vecinătate U, într-un roi oricare două puncte sunt unite printr-un singur G. d. Nu ies din U (a se vedea. [3]).
Problema cât de departe puteți continua de la punctul x 0 arc G. l. că acesta rămâne cel mai scurt, comparativ cu aproape curbele ei, este unul dintre obiectivele calculului variatiilor. Comparați G. l. cu curbe similare bazate pe studiul variației celei de a doua lungime la paradisul este investigat prin examinarea câmpului de viteză (câmp boala Jakob) .in puncte G. l. prin varierea. Pentru orice tkrivaya fixe rămâne geodezic și parametru e pe ea - canonică. Dacă la începutul viteza curbei este zero, punctele curbei în care rata la orice câmp Jacobi nenul este zero se numește. puncte de conjugat. G. l. Este cel mai scurt comparativ cu curbe similare cu primul punct conjugat. Pentru arc G. l. continuarea punctului conjugat, se închide în mod arbitrar curba mai scurte, cu aceleași obiective. câmp Jacobi satisface ecuația
unde - vectorul tangent al geodezic. și - conversia de curbură, sau la coordonatele Fermi
A se vedea. De asemenea, `geodezic Liniya` în alte dicționare