interes Compusul este utilizat în operațiunile financiare și de credit pe termen lung, în cazul în care nu se plătește dobândă periodic, de îndată ce acestea taxa pentru ultimul interval de timp, și să se alăture valoarea datoriei. Aderarea la valoarea dobânzii acumulate, care a servit ca bază pentru determinarea lor, de multe ori numit capitalizarea de interes.
Formula pentru compusul interes compoundare
Lăsați valoarea inițială a datoriei este egală cu P. Apoi, un an valoarea datoriei cu procente asociate P (1 + i). 2, P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i) 2. n prin s - P (1 + i) n. Astfel, obținem o formulă pentru compoundarea la suta dificil
unde S - suma rambleu, i - rata anuală a dobânzii compuse, n - credite pe termen, (1 + i) n - factorul de compoundare.
În calculele practice utilizate, în general, un interes discret, adică dobânda acumulată la intervale egale de timp (an, jumătate de an, trimestru, etc.). Acreția de interes este o lege complexă creștere de progresie geometrică, primul termen este egal cu P. și numitorul (1 + i).
Rețineți că, atunci când termenul n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 - dimpotrivă. Acest lucru este ușor de văzut pe exemple numerice specifice. Cea mai mare sumă în exces și dobânda acumulată simplu, peste valoarea și dobânda acumulată aferentă complexului (la aceleași rate ale dobânzii) se ajunge la mijlocul perioadei.
Compounding formula de interes compus,
în cazul în care rata de schimbare a lungul timpului
În cazul în care rata de amestecare variază în timp, agravând formula are următoarea formă
unde i 1. i 2. ik - valori secvențiale ale ratelor dobânzii, perioadele de funcționare n 1, n 2. nk, respectiv.
Contractul este fix rată variabilă a dobânzii compuse, definit ca 20% pe an, plus o marjă de 10% în primii doi ani, 8% în al treilea an, 5% în al patrulea an. Se determină valoarea unui factor de amestecare timp de 4 ani.
(1 + 0,3) 2 (1 + 0,28) (1 + 0,25) = 2,704
Dublarea cantității de formula
Pentru a evalua perspectivele lor de un creditor sau a unui debitor poate pune întrebarea: cât de mulți ani valoarea creditului va crește cu N ori la o rată a dobânzii dată. De obicei, este necesar pentru prognozarea oportunitățile de investiții în viitor. Răspunsul obținem prin factorul echivalarea compoundarea N. valoarea
a) dobândă simplă
b) pentru compoundarea
Deosebit de frecvent utilizate N = 2. Apoi formulele (21) și (22) sunt formulele de dublare și să ia forma:
a) dobândă simplă
b) pentru compoundarea
Dacă formula (23) poate fi ușor de utilizat pentru calcule aproximative, ecuația (24) impune utilizarea unui calculator. Cu toate acestea, la rate scăzute de interes (să zicem mai puțin de 10%) poate fi folosit în loc de un simplu aproximativă. Sale ușor pentru a obține, dacă luăm în considerare că ln 2 # 61627; 0,7 și ln (1 + i) # 61627; i. atunci
Se calculează numărul de ani datoria va crește la o rată a dobânzii de două ori mai simplu și compus de 10%. Pentru rata de compoundare efectua calcule pentru formula exactă și aproximativă. Rezultatele sunt comparate.
a) Pentru procentajele simplu:
b) Pentru complex și precis formulă procentuală:
c) Pentru interesul compus și formula aproximativă:
1) Ratele valorice egale de procente simple și complexe conduce la rezultate complet diferite.
2) Pentru valori mici ale ratei dobânzii compuse formula aproximativă corectă și dă rezultate aproape identice.
Acumularea de interes anual la un număr fracționar de ani
Când numărul fracțională de ani dobânda este calculată în diferite moduri:
1) Prin formula compoundare
2) Pe baza metodei combinate conform căreia un număr întreg de ani de interes compoundare și pentru o fracțiune - simplă
3) se aplică o regulă conform căreia dintre intervalele de timp mai scurte decât calculul perioadei nu acumulează interes într-un număr de bănci comerciale, adică,
ratele nominale și efective ale dobânzii
Rata nominală. Să rata anuală a dobânzii compuse este egal cu j. și numărul de perioade de compunere pe an m. Apoi, de fiecare dată când se percepe interes pe rata j / m. Rata J se numește par. Acumulați dobânzii la rata nominală cu formula:
unde N - numărul de perioade de încărcare.
În cazul în care perioada de creditare se măsoară numărul de perioade de fracționare de angajamente, la m o taxă unică de procente pe an, suma acumulată poate fi calculată în mai multe moduri, care conduc la rezultate diferite:
1) Prin formula compoundare
unde N / t - numărul perioadelor (eventual fracționată) Dobânzi, t - perioada de interes,
2) Prin formulă mixtă
în cazul în care un - întreg perioade de încărcare (adică, a = [N / t] - număr întreg parte a diviziunii tuturor creditelor perioadă N perioadă de acumulare t),
mărimea creditului de 20 mln. freca. Având în 28 de luni. Rata nominală este de 60% pe an. Acumularea de trimestrial interes. Se calculează cantitatea de acumulată în trei situații: 1), atunci când o parte fracționară a compoundare interes, 2), atunci când partea fracționară a dobânzii simple 3), atunci când partea fracționară este ignorată. Rezultatele sunt comparate.
Acumularea de trimestrial interes. In total sunt sferturi.
1) = 73.713 milioane de ruble ..
Dintr-o comparație a sumelor majorate vedea că atinge cea mai mare valoare în al doilea caz, și anume în calculul pe partea fracționară a dobânzii simple.
Rata efectivă arată ce rata anuală a dobânzii de compus are același rezultat financiar ca acreție m mult în anul rata j / m.
În cazul în care dobânda este capitalizată m ori pe an, de fiecare dată cu rata j / m. apoi, prin definiție, putem scrie ecuația pentru factorii de angajamente corespunzătoare:
și anume în cazul în care - rata dobânzii efective, și j - nominal. Aceasta implică faptul că relația dintre ratele efective și nominale exprimate prin relația
Relația inversă este de forma
Se calculează rata dobânzii efective, în cazul în care banca plătește trimestrial dobânzi, în funcție de rata nominală de 10% pe an.
Determina ce ar trebui să fie o rată nominală pentru acumularea trimestrială de interes, pentru a se asigura că rata efectivă de 12% pe an.
j = 4 [(1 + 0,12) 1/4 -1] = 0.11495, adică 11.495%.
Contabilitate (scontarea) a ratei dobânzii complexe
Aici, ca și în cazul de interes simplu, cele două tipuri de contabilitate vor fi discutate - matematice și bancare.
considerare matematică. În acest caz, problema este rezolvată prin dobânda cumulată inversă acumulată. Scriem formula originala pentru compoundarea
și rezolva în ceea ce privește P
contabilitate sau factor de reducere.
În cazul în care se percepe dobândă m ori pe an, obținem
Valoarea obținută prin scontarea P. S. numita valoare modernă sau prezentă sau privedennoyvelichinoyS. Suma P și S sunt echivalente în sensul că plata în valoare de S în n ani echivalentă cu suma plătită de P. în acest moment.
Cont bancar. În acest caz, se presupune utilizarea ratei dobânzii complexe. Scontarea pe o rată de actualizare dificilă prin următoarea formulă
în cazul în care dsl - rata de actualizare anuală dificilă.
Reducere în acest caz este
Atunci când se utilizează o rată de actualizare complex proces de contabilitate are loc cu o decelerare progresivă, deoarece rata de actualizare se aplică de fiecare dată cantitatea redusă în perioada precedentă cu valoarea reducerii.
ratele dobânzilor nominale și efective la sută
Rata nominală de actualizare. În cazurile în care se aplică scontarea m ori pe an, folosind o reducere stavkuf nominală. Apoi, în fiecare perioadă, egală cu 1 / m al anului, scontarea se realizează printr-un complex rate de actualizare f / m. reducere de proces pe acest complex de contabilitate m ori pe an, prin formula
unde N - numărul total de perioade de discount (N = mn).
Nu este una Scontarea, și m perioade ale anului reduce rapid cantitatea de discount.
Rata de actualizare efectivă. În conformitate cu rata efectivă de actualizare pentru a înțelege complex rata dobânzii anuală echivalentă cu (rezultatele financiare), cu un nominal aplicat pentru un anumit număr de scontare în anul m.
În conformitate cu definiția ratei dobânzii efective va găsi conexiunea cu un factor de reducere nominală din ecuația
din care rezultă că
Rețineți că rata efectivă de actualizare este întotdeauna mai mică decât valoarea nominală.
Formările rata de actualizare a complexului. Acreția este problema inversă pentru ratele de actualizare. Formula de compoundare privind ratele de contabilitate complexe pot fi obținute prin permiterea formulele corespunzătoare pentru scontarea (39 și 41) în raport cu obținerea S.
Cât de mulți bani ar trebui să fie pus în proiectul de lege, în cazul în care valoarea reală emisă este de 20 mln. Frecați. maturitate de 2 ani. Biletul la ordin se calculează de la rata de actualizare complexă anuală de 10%.
Rezolva problema anterioară, cu condiția ca concreșterea complexului rata de actualizare este efectuată nu o dată, ci de 4 ori pe an.
Acreția și Scontarea
Aceasta cantitate de procente atrasă discrete definite prin formula
unde j - rata nominală a dobânzii și m - numărul de perioade de acumulare interes ale anului.
De m mai mare. intervalele mai mici între momentele de interes. În limita ¥ M® au
S = lim P (1 + j / m) mn = P lim [(1 + j / m) m] n. (45)
lim (1 + j / m) m = lim [(1 + j / m) m / j] j = e j,
în cazul în care e - baza logaritmilor naturali.
Folosind această limită în expresia (45), am ajuns la concluzia că suma rambleu în cazul accrual continue de interes la o rată egală cu j
Pentru a distinge rata de rata dobânzii continuă cu procente discret, este numit puterea de creștere, și este notată cu d. atunci
creștere Puterea d este rata nominală a dobânzii când m ¥ ®.
Scontarea rata dobânzii continuă pe bază se realizează conform formulei
Relația dintre ratele dobânzii discrete și continue
ratele dobânzilor și continue discrete sunt o funcție, prin care se poate face trecerea de la calculul dobânzii continuă la și vice-versa digitale. rate Formula echivalente de tranziție de la una la alta poate fi obținută prin echivalarea multiplicatorilor respectivi de compoundare
Din egalitatea înregistrate ca
Rata dobânzii compuse anual este de 15%, ceea ce este echivalent cu puterea de creștere,
Folosind formula (50)
și anume echivalentă cu puterea de creștere egală cu 13.976%.
Calcularea termenului ratelor de împrumut și a dobânzii
Într-o serie de probleme practice primare (P) și capătul (S) sumele contract dat, și este necesar să se definească orice perioadă de plată, sau rata dobânzii, care în acest caz poate servi ca o măsură de comparație cu ratele de piață și randamentele caracteristice de funcționare pentru creditor. Aceste valori pot găsi cu ușurință formulele inițiale de compoundare sau actualizarea. De fapt, în ambele cazuri, a decis într-un anumit sens, problema inversă.
În dezvoltarea parametrilor acordului și evaluarea intervalul de timp pentru atingerea rezultatelor dorite este necesară pentru a determina durata operațiunii (credite pe termen lung) prin ceilalți parametri ai acordului. Luați în considerare această întrebare cu mai multe detalii.
A) Când construi pe un complex i anual rata. Din compoziția inițială a formulei
în cazul în care logaritmul pot fi luate din orice motiv, deoarece are atât numărătorul și numitorul.
B) În pas cu pas pe rata nominală a dobânzii este de m ori pe an de formula
B) La scontarea sub dificil anual rata de actualizare d. de la formula
D) La actualizarea la o rată nominală de actualizare de m perioade ale anului. din