Reshebnik la cursul semestrului „fizica“, „Oscilații și valuri“ pentru studenții de inginerie a tuturor formelor de învățare.
Activitatea 1. unde mecanice
Grupul de Lucru A
1. (V.3.45) tijă omogenă de lungime m efectuează mici oscilații într-un plan vertical în jurul unei axe orizontale care trece prin capătul său superior. Găsiți perioada de oscilație T a tijei.
Soluție: Bara este un pendul fizic. Perioada de oscilație a unui pendul fizic
unde I ─ momentul de inerție al pendulului în raport cu axa de rotație, L ─ distanța de la axa spre centrul maselor pendulului. Conform teoremei lui Steiner,
în care momentul de inerție al pendulului în jurul unei axe paralele cu această trecere prin centrul de masă. tijă
în cazul în care lungimea sa. Având în vedere că, obținem
Substituind valorile L și I din (1.1), obținem perioada de oscilație a tijei
2. (V.3.47) la capetele încărcăturii fixate două tijă verticală. Centrul de masă al încărcăturii este sub mijlocul tijei la distanță, consultați Găsiți lungimea tijei .; dacă se știe că perioada de oscilație a tijei cu sarcini mici în jurul unei axe orizontale care trece prin mijlocul acesteia, cu. tijă de masa neglijată în comparație cu greutatea încărcăturii.
Soluție: Tija cu greutăți (Figura 1.1) este un pendul fizic cu perioada de oscilație, care este determinată de raportul (1.1).
Momentul de inerție al pendulului în jurul unei axe orizontale care trece prin centrul O al tijei cu tija imponderabilitate este suma momentelor de inerție încarcă axa de rotație. Având o mulțime de puncte materiale, obținem
Având în vedere că lungimea mai sus pendulului fizic și că masa pendulului și înlocuind (1.2) în (1.1) randamente.
De aici exprimă cantitatea dorită
3. (V.3.48) Hoop cm diametru atârnă pe un cui înfipt în perete, și suferă mici oscilații într-un plan paralel cu peretele. Găsiți perioada de oscilație a inelului.
Soluție: Hoop, efectuează mici oscilații este un pendul fizic cu perioada de oscilație definită de ecuația (1.1). Momentul de inerție în raport cu punctul de suspensie cerc
în care momentul de inerție la centrul de masă.
Substituind (1.3) în (1.1) și ținând cont de faptul că obținem
4. (V.3.49) Care este cea mai mică lungime, este necesar să se ia firul la care este suspendat un diametru uniform de talon se referă la momentul stabilirii perioadei de minge mică oscilații T ar putea considera ca un pendul matematic? Eroare sub o astfel de ipoteză, nu trebuie să depășească 1%.
Soluție: Este cunoscut faptul că eroarea relativă în determinarea cantității necesare
în cazul în care valoarea exactă, valoarea aproximativă a acestei cantități. În acest caz, valoarea exactă o perioadă de oscilație a unui pendul fizic
Aproximativă aceeași valoare a valorii dorite perioada de oscilație al pendulului matematic
în care distanța de la punctul de suspensie în centrul maselor pendulului.
Având în vedere că, în acest caz,
Obținem o expresie pentru perioada de oscilație a unui pendul fizic
Rezolvarea sistemului de ecuații (1,5) și (1,6) și (1,7) în raport cu lungimea firului, obținem
Din moment ce, prin ipoteză, atunci se vedea.
5. (V.3.50). talon Omogen este suspendat de un fir a cărui lungime este egală cu raza mingii. De câte ori perioada de oscilații mici ale unui pendul, pe o perioadă de oscilații mici ale unui pendul simplu, cu aceeași distanță de centrul de masă până la punctul de suspendare?
Soluție: Perioada de mici oscilații ale unui pendul matematic
în cazul în care lungimea unui pendul simplu în problema noastră. Perioada pentru mici oscilații ale unui pendul fizic, care este o sferă uniformă de rază suspendată pe o lungime de fir [cm. problema anterioară (1,6)] este
6. (V.12.24). Prin sarcina de primăvară suspendat. Maximă fluctuații de energie cinetică J. mărfii. Oscilațiilor de amplitudine cm. Găsiți constanta elastică.
Soluție: În procesul de oscilații are loc în conversia energiei potențiale cinetică și înapoi, în care energia totală rămâne constantă. În momentele de abatere maximă de la poziția de echilibru
în care constanta elastică. În momentele de trecere din poziția de sarcină de echilibru
Prin urmare, putem scrie
7. (V.12.26) minge de cupru suspendat de primăvară, mișcarea de ridicare. Cum se schimbă perioada de oscilație, în cazul în care arcul în loc de minge de cupru agățat de aluminiu de aceeași rază?
Soluție: Perioada de oscilație a arcului pendul o masă de m. suspendat de un arc constantă k complet elastic. este
La schimbarea o masă din greutatea sarcinii suspendate din același izvor, perioada de oscilație pendul se va schimba în timp. Din egalitatea razelor de bile trebuie să fie egale în volumele lor. Se exprimă masa corpurilor prin densitatea lor Prin urmare, luând datele tabelului de cupru kg / m3 și de aluminiu kg / m3 se obține
Astfel, perioada de oscilație a pendulului elastic scade de 1,8 ori.
8. (V.12.53). Greutate corporală g efectuează amortizată oscilație cu cm amplitudine maximă, faza inițială și coeficientul de atenuare -1. Pe acest organism este început să funcționeze forța externă periodică stabilită sub care vibrații forțate. Ecuația are forma de Vibratii fortate cm. Găsiți (cu coeficienți numerici) eigenfrequency ecuație și legea de variație a unei forțe externe periodice.
Soluție: Ecuația oscilații în sistemul cu amortizare (1.8)
frecvența naturală a oscilațiilor cu amortizare, vibrații neamortizate frecvența naturală. Sub acțiunea unui tip extern forță periodică instalat în sistem indus oscilațiilor,
în care amplitudinea oscilațiilor forțate. Prin ipoteză, a se vedea ,. Schimbarea de fază între vibrațiile forțate și forța de împingere
Ne exprimăm aici. Substituind (1.9), vom găsi frecvența oscilațiilor amortizate
Apoi ecuația oscilațiilor naturale (1.8) ia forma dat coeficienți numerici
Valoarea maximă a forței externe periodice
Substituind această expresie pentru, putem scrie
Ecuația forței motrice cu coeficienți numerici
9. (V.12.55). Pe un tractor rutier murdărie trecut, lăsând urme sub forma unei serii de adâncituri la o distanță unul față de celălalt, a se vedea. Prin acest fel am rulat cărucior cu două arcuri identice, fiecare dintre coturile per cm sub acțiunea unei mase de kg. Cât de repede cu roți cărucior, dacă de la șoc pentru ao aprofunda, lovind rezonanta incepe mult balansa? Căruțuri kg masa.
Soluție: Scaun cu rotile incepe sa se clatine mult, în cazul în care intervalul de timp dintre două șocuri succesive
adâncituri este egală cu perioada de oscilații proprii landouri
Având în vedere faptul că fiecare dintre cele două arcuri trasura trebuie greutate și forța elastică în poziția de echilibru a modulului este egală cu greutatea încărcăturii, expresia pentru perioada va fi sub forma
Prin echivalarea cea din dreapta a (1.10) și (1.11) și exprimarea se obține
Compute: m / km / h.
10. (V.12.60). Ecuația de oscilație neamortizate are forma
Găsiți deplasarea x din poziția sa de echilibru, viteza υ și accelerația unui punct situat la m distanta de la sursa de oscilații, pentru punctele de timp după începerea oscilație. Viteza de undă m / s.
Soluție: Ecuația unui răsadurile undei plane în direcția axei
Punct de viteză Vibrating
Având în vedere condițiile problemei, a se vedea ,,,.
6. (V.12.62). Găsiți diferența de fază dintre oscilație a două puncte situate pe linie și distanțate la o distanță m unul de celălalt, dacă m lungime de undă.
Soluție: Pentru aceleași puncte din decalaj de timp în punctul 1.
Diferența de fază între oscilațiile punctelor medii
PROBLEME CU GRUPA
1. (I.4.3). O particulă pendulează axial despre poziția de echilibru. Frecvența de oscilație rad / s. La un moment dat coordonatei cm particulelor și viteza de ei cm / s. Găsiți poziția și viteza unei particule prin după acest punct.
Notă la soluția. deplasare și înregistrare a vitezei particulelor la un moment dat; exprimă acest sistem de ecuații oscilațiilor de amplitudine A și fază. Având în vedere că, după un interval de timp după această fază punctul de oscilație va primi de deplasare și viteza la timp.
2. (I.4.21). Ceas Pendulum instalat în cabina ascensorului, care a început să se ridice la o accelerație constantă, în care o rezistență 3. fluidul considerat neglijabil.
Notă la soluția. Ia-o ecuație mod de oscilație liberă
în care deviația hidrometru în direcția verticală de la poziția de echilibru. Pentru a face acest lucru, scrie în jos a doua lege a lui Newton pentru un hidrometru, deplasată de la o distanță arbitrară față de poziția de echilibru, având în vedere faptul că flotabilitatea fluidului este o funcție.
4. (I.4.48). pendul fizic instalat, astfel încât centrul de greutate a apărut pe punctul de suspendare. Din această poziție, pendulul a început să se miște în poziția de echilibru stabil, care a trecut cu viteza unghiulară. Neglijarea de frecare, găsiți perioada de oscilații mici ale unui pendul.
Notă la soluția. Cantitățile care apar în formula pentru perioada de mici oscilații ale unui pendul fizic. Ia-unul din aceste motive, că pierderea energiei potențiale a corpului, care este un pendul fizic, trecerea de la nivelul superior la punctul inferior al traiectoriei este egală cu creșterea energiei cinetice a mișcării de rotație.
5. (I.4.73). pendul matematic pendulează în mediul pentru care decrementul logaritmică. Care va fi decrementul logaritmică, în cazul în care rezistența mediului pentru a crește în timpurile? În ceea ce este numărul minim de ori Asigurați-vă că pentru a crește rezistența mediului, oscilațiile devin imposibile?
Note la soluție. Express descresteri logaritmice ca o funcție a raportului. Având în vedere că primesc (caracteristici de oscilație într-un mediu în care rezistența mediului crește în timp).
Fluctuațiile va fi imposibilă în cazul în care rezistența de mediu va crește, astfel încât raportul va fi egal cu unu. Localizați subiectul acestei considerații.
6. (I.4.77). Găsiți factorul de calitate al unui pendul matematic lungime vedea dacă timpul de interval de minute de energie mecanică totală este redusă în timp.
Notă la soluția. Arată că sistemul oscilatoriu pendul cu amortizare mică, adică pentru el. Valoarea datelor este ușor de a exprima problema. Pentru a evalua, să presupunem că starea de atenuare scăzută este îndeplinită; atunci expresia sistemului energetic total poate fi omis termenul oscilații conținând sinusul (vezi. curs Savel'ev IV de fizică generală, volumul 1, 1982 g. § 58). În acest caz, în orice moment și poate fi găsit de expresie. Și compararea și stabilirea faptului că sistemul de amortizare mici observat poate folosi formula pentru determinarea factorului de calitate, în cazul în care coeficientul de atenuare logaritmică.
7. (I.4.85). O minge de masă. suspendat de la un izvor, se extinde la ultima sumă. Forța verticală externă, schimbarea sinuos, cu o amplitudine. Ball face o oscilație forțată. descresteri logaritmice egal. Neglijând masa arcului, pentru a găsi o frecvență ciclică a forței motrice la care amplitudinea deplasării mingea este maximă. Care este semnificația acestei amplitudine?
Notă la soluția. Amplitudinea vibrației forțate este maximă la rezonanță. De aceea, trebuie să ne uităm pentru o frecvență de rezonanță inel și amplitudine de rezonanță.
8. (I.4.90). Greutatea Bulb g este suspendat pe o rigiditate arc fără greutate N / m. Sub acțiunea forței verticale de conducere armonică, o frecvență de schimbare rad / s, mingea face oscilații de echilibru, cu amplitudine și cm. La această schimbare pasă rămâne în forța motrice pentru. Găsiți: a) factorul de calitate al sistemului oscilant; b) exploatarea forței motrice pentru perioada de oscilație.
Notă la soluția. a) Sistemul de oscilație Q
în care energia totală de oscilație în sistem la momentul respectiv și după perioada de oscilație, respectiv după acest moment. Deoarece energia este proporțională cu pătratul amplitudinii de oscilație.
Coeficientul de atenuare și perioada de oscilație poate fi găsită prin cunoașterea perioadei naturale a oscilațiilor susținute ale pendulului și deplasarea forțată a balonului din faza de oscilație a forței motrice.
b) Lucrările efectuate în timpul perioadei de forță motrice compensează forțele de lucru ale rezistenței
în care deplasarea mingii de forța. Substituind în lucrarea formula pe derivatul acestei expresii și integrarea, pentru a primi un răspuns.