În grupul teorie grup se numește ciclică. în cazul în care este generat de un singur element a. adică toate elementele sale sunt puteri ale unui (sau, pentru a folosi terminologia aditiv, reprezentată ca na unde n -. întreg).
Astfel, noi numim G ciclică în cazul în care G = o |>. Cu alte cuvinte, grupul G este ciclic dacă G orice subgrup. care cuprinde o. Acesta coincide cu G. Acest lucru rezultă din faptul că, în acest subgrup trebuie să conțină toată puterea elementului a.
De exemplu, dacă G = e. g 1. g 2. g 3. g 4. g 5>, atunci G este ciclic. În acest caz, se poate observa că G este, de asemenea, aranjat ca un grup cu operarea plus modulo 6 (vorbind formal, G este izomorf l). Izomorfism este construit, în cazul în care corespondența g pune 1 din al doilea grup.
Pentru fiecare există un număr unic (până la izomorfism) grup ciclic astfel de ordine. De asemenea, există exact un grup ciclic infinit. Din cauza acestei simplității a grupului lor structură ciclică bine studiate și clasificate.
În ciuda numelui său, grupul nu trebuie să fie literalmente un „ciclu“. Se poate întâmpla ca toate puterile sunt diferite. Grupul astfel generat este numit un grup ciclic infinit și întregi izomorfe sub plus ().
Din moment ce toate grupurile ciclice sunt abeliană. acestea sunt adesea denumite, cu toate că unii matematicieni astfel de denumiri este evitată, desemnarea lor ca un coeficient de întregi (), care nu trebuie confundat cu alte denumiri comune.
Editare proprietăți
Fiecare grup ciclic este izomorf cu n plus modulo, sau grup de întregi sub adaos. Astfel, pentru înțelegerea structurii grupurilor ciclice pentru a studia nevoie doar de acestea. Această proprietate face ca gruparea ciclică este foarte ușor de învățat. Există mai multe proprietăți interesante ale unor astfel de grupuri. Având în vedere un grup ciclic G de ordinul n (infinitu). Apoi, pentru toate g în G sleuyuschee true:
- G este abelian; adică, operațiunea de grup este comutativ: ab = ba. Acest lucru este adevărat, deoarece (a + b) mod n = (b + a) n mod.
- Dacă n- <, то , поскольку n mod n = 0.
- Dacă n =, atunci există doar două elemente generatoare 1 și -1 (în notația).
- Fiecare subgrup al lui G este ciclic.
- Este izomorfă Gn (câtul) ca = c modulo n.
Toate generatoarele sunt numere de la 1 la n. care sunt prime reciproc n; numărul este # 966; (n), unde # 966; - funcția Euler. Mai general, în cazul în care d este un divizor de n. numărul de elemente în ordinea de d este egal cu # 966; (d). Comanda clasei Scăzând m este n / cmmdc (n, m).
Dacă p - prim. gruparea ciclică de ordine p și este unică până la izomorfism (aceasta rezultă din teorema lui Lagrange).
Produsul directă a două grupe ciclice și cicluri dacă și numai dacă n și m sunt relativ prime. De exemplu, acesta este un produs direct și, dar și.
Teorema fundamentală a grupurilor Abeliene generate afirmă că fiecare număr finit grup abelian finit generat în mod unic într-un descompune produs direct al grupurilor ciclice primare. Un grup primar poate fi o grupă ciclică, în care p - prim sau.
Ele sunt, de asemenea, inele comutative (în ceea ce privește adăugarea și înmulțirea). Dacă p - prim, apoi - un câmp finit. sau Fp notat, de asemenea, GF (p). Fiecare câmp finit cu elemente p izomorfe Fp.
Orice grup multiplicativ de câmpuri finite este ciclică (este generată de câmpul cel mai înalt ordin).
exemple Editare
Grupul Galois orice extindere finită a câmpului finit și ciclice finite; în schimb, în cazul dat câmpului finit F și G. gruparea ciclică finită există o extensie Galois finită care F este o grupare G.
Editare Prezentarea
Diagrama Cyclic grupările ciclice sunt n poligoane -storonnimi, elementele sunt dispuse la nodurile. Vârful umbrit denotă elementul neutru al grupului, iar restul elementelor sunt aranjate într-un cerc, în ordinea crescătoare a elementului de formare.
endomorphisms Editare
Inelul endomorphism al grupului este izomorf grupului însuși ca un inel. Acest număr izomorfism r corespunde endomorphism, care compară valoarea elementului r instanțelor sale. O astfel de hartă este bijectie. dacă și numai dacă r este relativ prim la n. astfel încât grupul automorphism este .cs izomorfe: Cyklická grupa EO: Cikla grupo el: חבורה ציקלית hu: Ciklikus csoport nl: Cyclische groep pl: cykliczna sr Grupa: ciclicitate sv grupa: Cyklisk grupp vi: Nhóm ciclic