Sistemul descris de ecuația. în cazul în care. Vom numi un oscilator armonic. Soluția acestei ecuații, după cum se știe, are forma:
Prin urmare, oscilatorul armonic este un sistem care oscilează în jurul poziției de echilibru.
Pentru un oscilator armonic deține toate rezultatele obținute anterior pentru oscilațiilor armonice.
Luați în considerare și să le discute mai mult în plus față de cele două întrebări.
Vom găsi pulsul oscilator armonic. Diferențierea expresia t și înmulțind rezultatul cu masa oscilatorului, obținem:
În fiecare poziție, caracterizată printr-o deviație „x“, oscilatorul are o valoare „p“. Pentru a găsi un „p“ ca o funcție de „x“, pentru a exclude „t“ de scris la „p“ și „x“ ecuații reprezintă aceste ecuații în forma:
Ridicarea acestor expresii în piață și adăugarea, obținem:
Desenați un grafic care arată relația „p“ puls armonic oscilator de „x“ deviațiile (Fig. 8.6). Coordonata plan ( „p“, „x“) se numește un plan de fază. și graficul corespunzător - faza traiectoriei. Traiectoria de fază a oscilatorului armonic este o elipsă cu semi-axe „A“ și „A · m · w0“. Fiecare punct descrie starea traiectoriei de fază a oscilatorului pentru o anumită perioadă de timp (adică devierea și pulsul). De-a lungul timpului, punctul care reprezintă starea se deplasează de-a lungul traiectoriei de fază, ceea ce face pentru perioada de oscilație a unui crawl completă. Și această mișcare are loc în sensul acelor de ceasornic [de exemplu, în cazul în care, la un moment dat în timp t ¢ x = A, p = 0, atunci data viitoare „x“ va scădea și „p“ pentru a lua toate în creștere în valori negative absolute, adică, .E. puncte de mișcare reprezentationale (adică punctele care reprezintă starea) va fi în sens orar].
Acum Găsim zona elipsei. sau
Aici. în cazul în care N0 - eigenfrequency oscilator este o valoare constantă pentru oscilator.
Astfel, energia totală a unui oscilator armonic este proporțională cu pătratul elipsei, factorul de proporționalitate este frecvența naturală a oscilatorului.
8.6. mici oscilații ale sistemului în apropierea poziției de echilibru.
Să considerăm un sistem mecanic, a căror poziție poate fi stabilită printr-o valoare „x“. Valoarea „x“, care determină poziția sistemului poate fi un unghi măsurat dintr-un plan sau o distanță măsurată de-a lungul unei curbe predeterminate.
Energia potențială a unui astfel de sistem va fi o funcție de o variabilă „x“: Ep = Ep (x).
Am ales originea, astfel încât poziția de echilibru x = 0. Apoi, funcția Ep (x) va avea un minim la x = 0.
extinde în continuare funcția Ep (x) în puterile „x“, în care numai cazul vibrațiilor mici, puteri atât de mari „x“ poate fi neglijată. Conform formulei Maclaurin:
(Din cauza mici „x“ neglijare ceilalți membri)
Deoarece Ep (x) la x = 0 este un minim,. a. Notăm Ep (x) = b u. atunci.
Această afirmație este identică cu expresia pentru energia potențială a sistemului în care acționează forța elastică (constanta „b“ poate fi setat egal cu 0).
Forța care acționează asupra sistemului poate fi determinată prin formula :. Aceasta a obținut având în vedere că activitatea se face din cauza pierderii de energie potențială.
Astfel, energia potențială a sistemului de mici abateri de la poziția de echilibru este o funcție pătratică a deplasării și forța care acționează asupra sistemului, este dată de forța cvasi-elastică. Prin urmare, din poziția de echilibru la mici abateri ale oricărui sistem mecanic va oscila aproape de armonice.
8.7. Pendulum.
DEFINIȚIE: Un pendul matematic va apela un sistem idealizată, format din fire imponderabilitate și inextensibil, care este suspendat concentrat în masă, la un singur punct.
Deviația pendulului din poziția de echilibru se va caracteriza printr-un unghi j (fig. 8.7). În cazul unui pendul din poziția de echilibru, un cuplu. El are o astfel de direcție care tinde să revină pendulului la poziția sa de echilibru, astfel încât în momentul M și deplasarea unghiulară a j trebuie să fie atribuit semne diferite.
Acum scrie ecuația pentru dinamica pendulul mișcării de rotație (dat fiind faptul că b - unghiulară accelerația este.).
Luați în considerare fluctuațiile mici () și să introducă o valoare. atunci vom obține
Soluția acestei ecuații este o funcție
În consecință, pentru oscilații mici ale deviației unghiulare a pendulului matematic variază armonios.
După cum rezultă din formula. matematică frecvență pendul oscilație depinde de lungimea și mărimea „g“ și nu depinde de masa pendulului. Având în vedere că obținem