În acest articol analizat în detaliu pe un semn divizibilitate 2. În primul rând, având în vedere formularea sa, urmată de exemple de utilizare a acestuia, în care constatativă de întregi, împărțit la doi. este prezentat în continuare divizibilitatea caracteristică probei 2. În concluzie, considerate modalități alternative de a seta numerele divizibile cu 2, ca valori date ale anumitor expresii.
Navigare în pagină.
Divizibilitate 2, exemple
Formularea divizibilitatea caracteristică 2 este după cum urmează: dacă înregistrarea se termină într-un număr întreg de redare audio 0. 2 4. 6 8. atunci acest număr este egal divizibil cu 2, dacă același număr întreg de înregistrare se termină unul dintre numerele 1. 3. 5. 7, sau 9. un astfel de număr este divizibil cu 2, fără rest.
Rețineți că semnul de divizibilitate 2 permite și-a exprimat verifica atât numere întregi pozitive (număr natural) și numere întregi negative, în capacitatea lor de a diviza de 2, fără rest.
Acum puteți vedea exemple de divizibilitatea caracteristice 2.
Care dintre aceste numere 8 -946. 10 -988 900. 53. 123 761 împărțit la 2.
Fără îndoială, este posibil să se împartă fiecare dintre aceste numere este 2 (de exemplu, prin efectuarea divizare a unei coloane), din care se va vedea dacă numărul este divizibil cu 2, fără rest sau cu un rest. Cu toate acestea, un semn de divizibilitate cu 2 vă permite să răspundă la întrebarea problemei mult mai repede.
8. Deoarece numerele -946. 10 900 se termină în figurile 6 și 8. 0, respectiv, ele sunt împărțite la 2, fără rest. La rândul său, numărul 53 și nu -988123761 divizibil uniform de 2, deoarece se termină la 3 și, respectiv, 1.
8. -946 10 900 și împărțit la 2 și 53 și -988123761 nu este divizibil cu 2.
Să considerăm un exemplu de descompunere în factori de prim. care este convenabil și oportun să se utilizeze un semn pentru divizibilitatea cu 2.
Aranjați numărul 352 în factori simpli.
De la intrarea ultimei cifre are 352 4. divizibilitatea a doua caracteristica ar putea susține că acest număr este divizibil cu 2. Avem 352 # 58 2 = 176 si 352 = 176 · 2. Evident, 176 este, de asemenea, divizibil cu 2. Avem 176 # 58; 2 = 88 și 176 = 2 · 88. apoi = 176 = 352 2 · 2 · 2 · 88. Deoarece numerale 8. 88 se termină acest număr este divizibil cu 2. Se obține 88 58 # 2 = 44. unde 88 = 2 x 44 și 352 = 2 x 2 x 88 = 2 · 2 · 2 · 44. Numărul 44 este de asemenea împărțit la 2. au 44 # 58; 2 = 22 și 44 = 2 x 22. prin urmare, 352 = 2 · 2 · 2 · 44 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22. Și din nou, un semn de divizibilitate cu 2 ne permite să spunem că 22 împărțit la 2 obține 22 # 58; 2 = 11. unde 22 = 2 x 11 = 352 și 2 · 2 · 2 · 2 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11. Dar numărul 11 se termină în figura 1., prin urmare, nu este divizibil cu 2. Referindu-ne la masă amorse. constatăm că 11 - un număr prim. Așa că am obținut extinderea necesară a numărului 352. ia forma 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11.
Întregi în funcție de divizibilitatea lor indivizibilă sau respectiv, 2 sunt separate în pare și impare numere. În virtutea caracteristică divizibilitate 2 poate argumenta că orice număr chiar și înregistrarea se încheie într-una dintre cifre 0 2. 4 6. 8. ciudat și - la 1. 3. 5. 7. 9.
divizibilitate Dovada caracteristică 2
Înainte de a dovedi divizibilitatea caracteristică 2 dovedesc o afirmație auxiliară: orice număr natural a. care înregistrarea este terminată cu 0. împărțit la 2.
Regula înmulțirea unui număr natural 10 vă permite să prezinte un număr în forma a = a1 · 10. a1 în cazul în care numărul de rotații ale unui. dacă intrarea sa de a elimina ultima cifră (., de exemplu, 450 = 45 x 10 aici a = a1 = 450, și 45 ;. 390 200 = 39020 * 10 sunt = 390200 și a1 = 39020). A1 produsului · 10 multiplicator 10 este împărțit la 2 (din 10 = 2 x 5), prin urmare, toate produsul este împărțit la 2, deoarece proprietățile divizibilitate corespunzătoare.
Acum puteți vedea dovezi ale atributului divizibilitatea de 2. Pentru comoditate reformuleze Divizibilitatea de 2. sunat la primul paragraf al acestui articol, ca o condiție necesară și suficientă a divizibilitatea un număr întreg de 2 și o dovedesc.
Pentru un număr întreg împărțit la 2 este necesar și suficient ca înregistrarea ultimei cifre a fost 0. 2 4. 6 sau 8.
Un număr poate fi reprezentat întotdeauna ca suma unui număr de zeci și numărul de unități, adică, sub forma a = a1 · 10 + a0. unde a1 - numărul obținut dintre un. dacă eliminați ultima cifră a înregistrării și a0 sale - un număr care corespunde ultimei cifre din înregistrarea unui (prezenta exemple pentru a ilustra aceste idei: 46 · 4 = 10 + 6 24 328 = 2 432 + 8 * 10.). În ecuația a = a1 · 10 + produs A0 A1 · 10 este întotdeauna divizibil cu 2. Am arătat mai înainte că această teoremă.
Toate dovadă suplimentară se bazează pe următoarea proprietate de divizibilitate: dacă două dintre cele trei numere întregi în ecuația t = u + v este împărțit într-un număr întreg z. iar al treilea număr este divizibil cu z.
Dacă împărțit la 2. proprietățile divizibilitate de reprezentare a spus și a = a1 · 10 + a0 rezultă că a0 este împărțit de 2 și este posibil numai la A0 egal 0. 2. 4. 6 sau 8. Dacă nu este divizibil 2. că din nou în virtutea proprietăților numărul A0 divizibilitate menționate nu poate fi împărțit la 2 (de altfel un împărțit la 2), iar acest lucru este posibil numai atunci când A0 este 1. 3. 5. 7 sau 9. acest lucru se dovedește necesitatea.
Acum înapoi. Dacă un număr se termină într-una dintre figurile 0 sau 2. 4. 6 8. a0 apoi împărțit la 2. Prin urmare, în virtutea proprietăților divizibilitate menționate anterior și care prezintă a = a1 · 10 + a0 poate concluziona pe divizibilității unui număr de 2. Dacă se termină într-un același unul din numerele 1 sau 3. 5. 7 9. a0 care nu este divizibil cu 2. cu toate acestea, de asemenea, un nu este divizibil cu 2. altfel, forța proprietăților divizibilitate și prezentarea a = a1 · 10 + a0 număr A0 fi împărțit la 2. care este imposibil. Acest lucru se dovedește suficiență.
Pentru a încheia această secțiune, observăm că numerele, care se termină de intrare cifre 1. 3. 5. 7, 9 sau atunci când împărțit la 2 da întotdeauna reziduu 1.
Într-adevăr, lăsați un număr de înregistrare se termină cu unul dintre aceste numere. Un număr poate fi reprezentat ca a = b + 1. în care b este un număr care se termină în 2 0. 4. 6 sau 8. Apoi, în virtutea caracteristică 2. divizibilitatea prin numărul b este împărțit la 2. deci divizibilitatea prin definiție poate fi reprezentată ca b = 2 · q. unde q - un întreg. Apoi q = 2 · + 1. Reprezentarea primite arată că prin împărțirea numărului de 2 transformă un q coeficient parțial și un rest 1 (dacă este necesar, a se vedea secțiunea teoria diviziunii întregi cu restul).
Alte cazuri de divizibilitate cu 2
În acest moment ne dorim să ne raportăm la cazurile în care un număr întreg nu este dată în mod direct, ci sub forma unei valori de scrisori de expresie. și este necesar să se stabilească dacă numărul este divizibil cu 2 sau nu. De obicei, în aceste cazuri, semnul divizibilitatea de 2 nu funcționează, și nu este posibil să se efectueze și diviziunea directă. Prin urmare, trebuie să caute alte soluții.
O abordare pentru rezolvarea unor astfel de probleme sugerează următoarele proprietatea divizibilitatea: în cazul în care cel puțin unul dintre factorii produsului a numerelor întregi este divizibil cu acest număr, atunci toate lucrările este împărțit de acest număr. Astfel, dacă vom prezenta expresia inițială literă ca produs al mai multor factori, dintre care unul va fi împărțit la 2. Acest lucru va fi demonstrat că inițial divizibilitatea numărul 2.
Trimite expresia originală ca produs al mai multor factori, uneori, ajută formula binomială. Luați în considerare exemplul deciziei.
dacă valoarea este divizată expresii calculate pentru un întreg n. 2.
Evident egalitate. Acum folosim formula binomului lui Newton, după care simplifica această expresie:
În ultima expresie poate fi scoasă din paranteze 2, în cele din urmă, avem egalitatea. Pentru orice întreg pozitiv n partea dreaptă a acestuia este împărțit la 2, deoarece conține un factor 2. Prin urmare, împărțit la 2 și partea stângă a ecuației.
În multe cazuri, în scopul de a dovedi divizibilitatea de 2 folosind metoda inductiei matematice. Ia expresie din exemplul anterior și arată prin inducție că pentru orice naturale n valoarea este împărțit la 2.
Dovedi că valoarea expresiei pentru orice număr natural n este divizibil cu 2.
Noi folosim metoda inductiei matematice.
În primul rând, ne arată că expresia este împărțită în 2 când n = 1. Avem, și 6, evident, divizibil cu 2.
În al doilea rând, să presupunem că valoarea expresiei este împărțit în 2, cu n = k. adică - împărțit la 2.
În al treilea rând, presupunând că este împărțit în 2 dovedesc că valoarea expresiei este împărțită în 2 când n = k + 1. Aceasta este, dovedește că este divizibil cu 2. Având în vedere că este divizibil cu 2.
Pentru a face această conversie. Expresia este împărțit în 2 au fost împărțite în 2 expresie este, de asemenea, împărțit la 2, deoarece conține un factor 2. Prin urmare, având în vedere proprietățile diferenței divizibilitate acestor expresii este de asemenea împărțit la 2.
Acest lucru dovedește că pentru orice întreg pozitiv n valoarea expresiei este împărțit la 2.
Separat, trebuie spus că, dacă lucrarea are două numere care se succed într-un număr natural. produsul este împărțit la 2. De exemplu, produsul numerelor întregi de forma (n + 7) · (n-1) · (n + 2) · (n + 6) este împărțit la 2 pentru orice întreg pozitiv n. deoarece conține două număr consecutive de numere naturale (acestea sunt numerele n + 6 și n + 7), iar una dintre ele trebuie să fie împărțit la 2 pentru orice întreg pozitiv n.
În mod similar, în cazul în care două sunt prezente în produsul de multiplicare între care există un număr egal de membri ai unui număr natural, atunci acest produs este împărțit la 2. De exemplu, valoarea expresiei (n + 1) · (n + 6) pentru orice întreg pozitiv n este divizibil cu 2, deoarece între numere naturale n + 1 și n + 6 conține un număr par de numere: n + 2. n + 3. n + 4 și n + 5.
Compilați informații din cele două paragrafe precedente. Dacă vom arăta că valoarea unei expresii este împărțită în 2 n = 2 · m și n = 2 · m + 1. unde m - număr întreg arbitrar, atunci se dovedește că expresia inițială este împărțit la 2 pentru orice întreg n.
Dovedește că n 3 + 7 · n 2 + 16 + 12 · n este divizibil cu 2, pentru orice întreg pozitiv n.
Expresia inițială poate fi reprezentat ca un produs al (n + 2) 2 · (n + 3) (dacă este necesar, consultați articolul prin descompunerea unui polinom factoring). Acest produs conține factorii n + 2 și n + 3. care se potrivesc cu două numere din seria naturală a consecutive. Pentru orice valoare întreagă pozitivă n unul dintre numerele n + 2 sau n + 3 împărțit la 2 este necesară, astfel încât produsul (n + 2) 2 · (n + 3) este împărțită la 2. în consecință, valoarea expresiei sursă este împărțit la 2.
Aici este o dovadă mai riguroase.
Când n = 2 · m au. Această expresie este împărțit de 2, deoarece conține un factor de 4 care este împărțit în 2.
Când n = 2 · m + 1 au. Produsul rezultat este împărțit la 2, deoarece conține factorul 2.
Acest lucru dovedește că n 3 + 7 · n 2 + 16 + 12 · n = (n + 2) 2 · (n + 3) este împărțit la 2 pentru orice întreg pozitiv n.
- Vilenkin N. și colab. Math. Grad 6: manual pentru instituțiile de învățământ.
- IM Vinogradov Bazele teoriei numerelor.
- Mihelovich Sh.Kh. Teoria numerelor.
- Kulikov LY etc Culegere de probleme în algebră și teoria numerelor. Textbook pentru studenții de fizică și matematică. specialități ale instituțiilor pedagogice.