ipoteză
Birch - Swinnerton-Dyer
Generalizate presupuneri Poincaré - afirmația că fiecare galerie n-dimensional este echivalent omotopie sferei n-dimensionale dacă și numai dacă este homeomorf să-l. Principalul Poincaré conjectura este un caz special al conjecturii generalizate pentru n = 3. Până la sfârșitul secolului XX, acesta a fost singurul caz nedovedită. Astfel, completează dovada dovada conjecturii lui Poincaré generalizate lui Perelman.
flux Ricci - o anumită ecuație diferențială parțială. cum ar fi ecuația căldurii. Acesta vă permite să denatureze metrica Riemanniană pe o varietate, dar în procesul de deformare, formarea de „singularitate“ - punctele la care curbura tinde la infinit, iar deformarea nu poate continua. Pasul principal în dovada este în clasificarea unor astfel de singularități în cazul tridimensional orientate. La apropierea fluxului singularitate a fost oprit și să producă „chirurgie“ - emit componente mici conectate sunt tăiate sau „gât“ (adică zonă deschisă produs direct diffeomorphic (0. 1) × S 2>), iar cele obținute două găuri sunt sigilate cu două bile așa rezultă că colectorul metric devine suficient de netedă - și apoi să continue de-a lungul deformare de curgere Ricci.
Procedeul descris mai sus este numit „flux Ricci cu o intervenție chirurgicală.“ Clasificarea singularități poate concluziona că fiecare „bucată de aruncat“ formă spațială sferică diffeomorphic.
În dovedirea Poincare începe cu un metric riemannian conectat simplu arbitrar tridimensional colector M si se aplica la acesta flux Ricci cu o intervenție chirurgicală. Un pas important este de a dovedi că, ca rezultat al acestui proces de „aruncat“ totul. Aceasta înseamnă că originalul colector M poate fi reprezentat ca un set de forme spațiale sferice S 3 / Γ i / \ Gamma _>. conectate între ele țevi [1 0] x S 2>. Calculul grupului fundamental arată că M este diffeomorphic la suma legată de un set de formulare spațiale S 3 / i y / \ Gamma _> și în plus toate Γ i> triviale. Astfel, M este suma legată de un set de sfere, adică o sferă.
In 1900, Poincaré a făcut ipoteza că colectorul tridimensională cu toate grupurile de omologie ca sferă este homeomorf sferei. În 1904, el a găsit, de asemenea, un contraexemplu, numit acum sfera Poincare. și a formulat versiunea finală a ipotezei sale. Încercările de a demonstra conjectura Poincaré a dus la multe progrese în topologia varietăților.
conjectura Poincaré pentru o lungă perioadă de timp nu a atras atenția cercetătorilor. În 1930 Dzhon Uaythed reînviat interesul în ipoteza, anunțând dovada, dar apoi a dat-o în sus. În timpul căutării a găsit câteva exemple interesante de non-compacte 3-colectoare, pur și simplu conectate nonhomeomorphic R 3>. prototipul care este cunoscut sub numele de diversitatea Whitehead.
Dovezi pentru o Poincare generalizată n ⩾ 5 obținute la începutul 1960-1970 Smale aproape simultan. independent și alte metode Stallings (Eng.) (pentru n ⩾ 5. dovada acestuia a fost extins la cazurile de n = 5. 6 Zeeman (Eng.)). Dovada este mult mai dificil caz n = 4 a fost obținută numai în 1982 de către Friedman. Din teorema lui Novikov pe invarianța topologice claselor Pontryagin, există colectoare homeomorf echivalent, dar nu omotopie în dimensiuni mari.